兰姆波方程中相速度、群速度与振动位移

兰姆波在板中传播时，板的整个厚度都在作复杂的振动，兰姆波的传播特性取决于板的密度、弹性和组织，也受板厚和振动频率的影响。

兰姆波有两种基本形式——对称（S）型和反对称（A）型，这是由质点相对于板的中间层作对称型还是反对称型运动来决定的；每种形式又可进一步分成具有不同相速度c_p的若干种模式，图3.5-78为S₀、A₀和S₁模式的情况。

表3.5-2列出了兰姆波传播的表达式，给出了频率为f的兰姆波在厚度为d的板中传播时，其传播速度（c_p）与纵波速度（c_l）、横波速度（c_t）之间的关系。为便于实际运算，常采用表3.5-22所列的表达式。

图3.5-78 兰姆波在板中传播时板中质点的振动形式

表3.5-22 兰姆波方程的表达式

如果将频率、板厚的相乘积（fd）作为一个因子来考虑，则对于不同材料的薄板，可从材料的纵波和横波传播速度（c_l和c_t）算得fd与c_p的关系曲线。对于钢和铝，这种曲线如图3.5-79和图3.5-80所示。从图可以看出，当板厚一定时，兰姆波在板中的传播速度随频率不同而异，这种速度随频率而定的现象称为频散。

图3.5-79 钢板中的兰姆波相速度曲线

纵波速度：5790m/s横波速度：3200m/s

图3.5-80 铝板中兰姆波相速度曲线

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图3.5-81 钢板中兰姆波传播的群速度曲线

纵波速度：5790m/s横波速度：3200m/s

当用脉冲波激发兰姆波时所得兰姆波是由不同频率的波组成的，速度各不相同，这种合成振动的最大幅度的传播速度称为群速度，其表达式见表3.5-2。在钢板、铝板中群速度曲线如图3.5-81和图3.5-82所示。显然，在非频散性介质中群速度即等于相速度，而在频散性介质中群速度则不等于相速度。

图3.5-82 铝板中兰姆波传播的群速度曲线

纵波速度：6350m/s横波速度：3045m/s

兰姆波在板中传播时质点振动的垂直位移（沿y方向）分量v和水平位移（沿x方向）分量u可用下列表达式给出。

对称型：

反对称型：

式中 B、D——常数项，，其余见表3.5-21。