玻恩-冯卡门周期性边界条件优化

上面由振动波函数单值的要求，考虑了波矢q的取值范围，对于一维布喇菲格子，q属于（-π/a，π/a），对一维双原子的复式格子，q值限制在（-π/（2a），π/（2a））。但波矢的值并不是连续的，而只能在上述范围内取有限数目的分立值，这是由边界条件所决定的。

为了说明这个问题，考虑由N个相同原子构成的一维晶体，很显然边界上原子所处的情况与体内原子的不同，边界处原子的振动状态就该和内部原子的有所差别，在前面的讨论中，没有考虑到这个边界问题，认为一维晶体是无限的。但实际晶体总是有限的，总存在着边界，而此边界对内部原子的振动状态总会有所影响。玻恩和冯卡门把边界对内部原子振动状态的影响考虑成如下面所述的周期性边界条件。设想在一长为N a的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j个原子和第tN+j个原子的运动情况一样，其中t=1，2，3，…。这样设想的无限晶体中的原子和原来实际的有限晶体中的原子，两者所受到的互作用势能却是有差别的。但是进一步的分析表明，由于互作用主要是短程的，实际的有限晶体中只有边界上极少数原子的运动才受到相邻的假想晶体的影响。就有限晶体而言，绝大部分原子的运动实际上不会受到这些假想晶体的影响。

在上述假想的周期性边界条件下，对于一维有限的布喇菲格子，第n个原子应和第n+N个原子振动情况相同，即x_n=x_n+N，再由式（4-4）可得e^iqNa=1，即

qNa=2πl （4-26）

式中l为整数。由式（4-26）可以看出，描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立值。因为q限制于（-π/a，π/a），所以l位于区间（-N/a，N/a）。(www.xing528.com)

把l限制在

则q限制在

对于一维复式格子，设晶体有N个原胞（每一个原胞含两个不同原子），根据周期性边界条件x_2n+1=x₂（n+N）+1，得到e^i2qNa=1，即2qNa=2πl（l为整数）。关系式（4-27）同样适用，这里q限制在

所以，一维复式格子的q也只能取N个不同的值。波矢q的数目亦即振动状态的数目，等于原胞数目。在波矢空间，一维双原子复式格子的每一个可能的q所占据的线度为π/（Na）。这里，对应于每一个q值有两个不同的ω，一个是光学波角频率，另一个是声学波角频率。因此，对于一维双原子复式格子，角频率数为2N，既然每一角频率对应于一个格波，格波数必为2N。在一维双原子复式格子中，每个原胞有两个原子，晶体的自由度是2N，因此得到这样结论：晶格振动波矢的数目等于晶体原胞数；晶格振动频率的数目等于晶体的自由度数。这些结论对于三维晶格振动也适用。