在求解玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布前，先说一下最概然分布和斯特令公式。温度、压力、平均能量等相同的一个宏观状态，从微观角度看，对应着各种粒子的多种大量的组合方式（位置、动量等的组合）。与给定的宏观状态对应的不同的微观状态数Ω，称为该宏观状态的热力学概率。玻尔兹曼提出，在热力学概率和熵S之间存在如下的关系
S=klnΩ （1-115）
称为玻尔兹曼关系，k为玻尔兹曼常数。在热力学中，熵最大的状态是稳定的状态，所以Ω最大的状态给出稳定的热平衡状态。平衡态是出现概率最大，即最概然的宏观态。平衡态对应的分布是最概然分布。在数学上，有一近似公式，即当m是一个远大于1的整数时，有
lnm！≈m（lnm-1） （1-116）
即斯特令公式。
对玻尔兹曼系统中的微观状态（热力学概率）公式（1-112）两边取自然对数，得
假设所有的al都很大（当然N也很大），根据斯特令公式（1-116），式（1-117）可化为（将ΩM.B.简记为Ω）
求熵最大，即求lnΩ最大。为求得使lnΩ为极大的分布，令各al有δal的变化，lnΩ将因而有δlnΩ的变化。使lnΩ为极大的分布，{al}必使δlnΩ=0，即(www.xing528.com)
这些δal不完全是独立的，它们必须满足条件
用拉格朗日待定乘子α和β分别乘式（1-120）中的两个式子，并由式（1-119）可得
根据拉格朗日乘子法原理，每个δal的系数都等于零，所以得
即
式（1-123）给出玻尔兹曼系统中粒子的最概然分布，称为麦克斯韦—玻尔兹曼分布或玻尔兹曼分布。拉格朗日待定乘子α和β由式（1-111）确定，即
式（1-123）给出在最概然分布下处在能级εl的粒子数。能级εl有ωl个量子态，处在其中任何一个量子态的平均粒子数应该是相同的。因为al/ωl是能量为εl的一个量子状态被粒子填充的几率，所以它就是占有率ƒ（εl）。另外β还可以热力学定义求得，有热力学定义可求得β=1/（kT），k即玻尔兹曼常数。因而式（1-123）可写成一般的表达式
这里A=e-α
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