动力学基础:理论知识及应用

机器人动力学是研究机器人运动与关节力矩之间关系的方法。其主要分为两类：一类是动力学正问题，即已知机器人各关节的驱动力矩，求机器人各关节的位置、速度、加速度；另一类是动力学逆问题，即已知机器人各关节瞬时位置、速度、加速度，求当前时刻各关节的驱动力矩。在此主要介绍机器人动力学分析的两种主要方法，即基于牛顿-欧拉方程的分析方法和基于拉格朗日方程的分析方法。

一、牛顿-欧拉迭代动力学方程

牛顿-欧拉方程可以描述一个刚体的动力学特性，对于机械臂，其是一个多刚体系统。为了对整个系统的动力学进行描述，需要对每一个刚体的动力学特性进行分析，从而得到整个机械臂动力学特性。由关节运动计算关节力矩的完整算法由两部分组成：第一部分是对每个连杆应用牛顿-欧拉方程，从连杆1到连杆n向外迭代计算连杆的速度和加速度，即外推算法；第二部分是从连杆n到连杆1向内迭代计算连杆间的相互作用力和力矩以及关节驱动力矩，即内推算法。对于旋转关节，将该算法归纳如下。

外推算法可定义为

式中，iωi为连杆i的角速度；为连杆i的角加速度；为连杆i+1坐标系原点的线加速度；为连杆i+1质心的线加速度；和为作用于连杆i+1质心上的惯性力和力矩。内推算法可定义为

式中，ifi为连杆i-1作用在连杆上i的力；ini为连杆i-1作用在连杆i上的力矩；Ti为关节i的驱动力矩。

上述迭代的方法能够很好地通过关节运动计算得到各个关节的驱动力矩，然而在对机械臂进行分析时，常常需要动力学的矩阵形式，对于上述动力学方程，可以写成如下形式：

式中，τ为各关节的驱动力矩；M（Θ）为机械臂n×n维的质量矩阵；为n×1维的离心力和科里奥利（简称哥氏）力项；G（Θ）为n×1维的重力项。

上述式（5-21）称为机械臂的状态空间方程。

M（Θ）和G（Θ）中的元素都是关于机械臂关节位置Θ的复杂函数，而中的元素是关于机械臂关节位置Θ和的复杂函数。

二、拉格朗日方程

与牛顿-欧拉方程不同，拉格朗日方程是一种基于能量的动力学方法。这种方法以能量的观点建立基于广义坐标的动力学方程，从而避开了力、速度、加速度等向量的复杂运算，可以避免内力项。系统的拉格朗日函数L定义为系统的动能K和势能U之差，即

式中，K和U可以在任何坐标系下表示。(www.xing528.com)

对于第i根连杆，其动能ki可以表示为

式中，等号右边第一项是由连杆质心线速度产生的动能；等号右边第二项是由连杆的角速度产生的动能。

整个操作臂的动能是各个连杆动能之和，即

由于和iωi是Θ和的函数，可知操作臂的动能可以描述为关节位置和速度的标量函数。操作臂的动能可以表示为

式中，M（Θ）为n×n操作臂的质量矩阵。

第i根连杆的势能ui可以表示为

式中，为3×1的重力向量；为位于第i根连杆质心的向量；为使ui的最小值为零的常数。

操作臂的总势能为各个连杆势能之和，即

由于是Θ的函数，可以看出操作臂的势能U（Θ）可以描述为关节位置的标量函数。

系统动力学方程即拉格朗日方程可以表示为

式中，qi为动能和位能的坐标；为对应的速度；τi为作用在第i个坐标系上的力或力矩。