椭圆轮廓加工技巧详解

时间：2023-07-02 理论教育版权反馈

【摘要】：也即，若用游标卡尺从α=50°和α=230°来测量中间的椭圆，尺寸应该为2×43.354mm≈86.70mm；但现在，若为内轮廓铣削，测量的尺寸为mm≈86.30mm；若为外轮廓加工，测量的尺寸为mm≈86.98mm。＃3=C，椭圆内轮廓上表面Z轴的相对/绝对坐标值。图5-11 椭圆内轮廓加工示意图＃17=Q，深度铣削每层下降的深度，＞0。

椭圆轮廓加工技巧详解

长期以来，网络上和一些书籍里在椭圆的认知上都存在一个很大的误区：认为只要刀具中心的移动轨迹是椭圆，加工出来的内/外轮廓也必然是椭圆，这一点对于圆来说毫无疑问是正确的，但对于椭圆来说则未必如此。由这个错误的认知而编写的椭圆宏程序也必然是错误的。可以来验证一下。

如图5-9所示，中间的实线所示的椭圆轮廓，在X轴上的半轴长度a=50mm，在Y轴上的半轴长度b=40mm。若按照这种说法，内层的虚线所示为内轮廓铣削时刀具中心的椭圆轨迹，在X轴上的半轴长度a=40mm，在Y轴上的半轴长度b=30mm；外层的虚线所示为外轮廓铣削时刀具中心的椭圆轨迹，在X轴上的半轴长度a=60mm，在Y轴上的半轴长度b=50mm；恰如用ϕ20mm的刀具来加工实线椭圆所对应的内、外轮廓时刀具中心的移动轨迹一样。

很多人在以角度作为步距值编写椭圆宏程序的时候，往往不小心就进入了一个误区，把椭圆上的某点所对的中心角α混淆为该点所对的离心角θ，导致编程错误。

图5-9 椭圆及其内、外轮廓

椭圆上的离心角θ和中心角α如图5-10所示。

图5-10 椭圆上的离心角θ和中心角α

图中，经椭圆中心O作两个圆，半径分别是椭圆长半轴长度a和短半轴长度b，经椭圆上的任意一点M作X轴的垂线交X轴的垂足为N，反向延长后交半径为椭圆长半轴长度a的大圆于A点，连接OA，交半径为椭圆短半轴长度b的小圆于B点，连接BM，∠AMB=90°，则有

由于△ABM∽△AON，所以MN/AN=BO/AO=b/a。

所以，推出：tanθ=atanα/b（离心角θ和中心角α在同一象限，α≠90°、≠270°）。

设经过椭圆中心的直线与平面第一轴正方向（＋X）的夹角为α，即椭圆上的点对应的中心角α，根据椭圆标准方程和直线方程的联立，求解。

解得

根据三角函数关系代换，也可以变形为。两点之间的距离d=。

为了证明这是一个伪命题，只需找出某一个角度在图5-9中3个椭圆上所对应的3个点每相邻两点之间的距离不相等，也不等于刀具半径10mm就行了。如果用同一个离心角θ，会发现相邻两点之间的距离都是10mm，而离心角θ和椭圆的离心率有关，并不代表该点真实的角度；所以只能用中心角α，角度要满足一个条件：不等于0°、90°、180°或270°。

限制中心角α不等于90°、270°，并非因为这两个角度不适用于以中心角α为参数的椭圆方程，也非因为这两个角度适用于其变形方程，而是，在这4个特殊角度下，反映在3个椭圆上所对应的3个点每相邻两点之间的距离相等，正是刀具半径10mm，而这一点恰恰是被许多操作者重视的。通常，检查椭圆是否合格，都是去测量其长轴和短轴的长度，认为只要这两处尺寸对了，轮廓就是椭圆了，而这两个尺寸正好合乎图样的标注，导致错误不易被发现。虽然错误阴差阳错地被忽略了，但错误毕竟还是错误，利用数学计算来指导实践，通过测量是能发现的。

①当椭圆中心角α=50°，由方程可以计算出，该角度交内层椭圆的点的坐标为（21.305138，25.390475），交中间椭圆的点的坐标为（27.867450，33.211133），交外层椭圆的点的坐标为（34.382976，40.976035），可以计算出内层、中间椭圆上的两点间的距离为10.209144mm，中间、外层椭圆上的两点间的距离为10.136359mm，而10.209144≠10.136359≠10。②换言之，椭圆中心角α=50°时，交3个椭圆上的点到椭圆对称中心的距离，椭圆对称中心到内层、中间、外层椭圆的距离计算结果依次为：33.1449mm、43.3541mm、53.4904mm。也即，若用游标卡尺从α=50°和α=230°来测量中间的椭圆，尺寸应该为2×43.354mm≈86.70mm；但现在，若为内轮廓铣削，测量的尺寸为（2×33.145＋20）mm≈86.30mm；若为外轮廓加工，测量的尺寸为（2×53.490－20）mm≈86.98mm。而86.30≠86.70≠86.98，相差这么多，用游标卡尺就能测量出来！若能把这么大的错误理解成误差，机床怕是早该维修了。但问题的关键是，又有谁会从相差180°的50°和230°的位置去测量这个椭圆呢？或许压根就没想到这么多。其实，机床已经按照编程者的程序真实地记录下了这个错误，只不过许多人过于想当然地认为，对错误视而不见罢了。

所以要想铣出椭圆内、外轮廓，刀具中心的移动轨迹就必然不是椭圆，而是其偏移曲线。在加工时，必须要用刀具半径补偿。

对椭圆方程x²/a²＋y²/b²=1（a＞0，b＞0）及其偏移方程，加工其内轮廓，对刀具半径值有限制，椭圆内轮廓上的各点，在其长轴处两点的曲率半径最小，为短半轴²/长半轴。若用刀具加工该处，要满足R_刀≤短半轴²/长半轴，或者说，d_刀≤短轴²/长轴；加工椭圆外轮廓，对刀具半径值无限制。

对抛物线方程y²=2px（p≠0），或x²=2py（p≠0）及其一般方程，加工内轮廓，在其顶点处开口内侧的曲率半径最小，为∣p∣。若用刀具加工该处，要满足R_刀≤∣p∣，或者说，d_刀≤2∣p∣；加工抛物线外轮廓，对刀具半径值无限制。

对双曲线方程x²/a²－y²/b²=1（a＞0，b＞0），或y²/b²－x²/a²=1（a＞0，b＞0）及其偏移方程，加工内轮廓，在其上、下、左、右半支顶点处开口内侧的曲率半径最小，为虚半轴²/实半轴。若用刀具加工该处，要满足R_刀≤虚半轴²/实半轴，或者说，d_刀≤虚轴²/实轴；加工双曲线上、下、左、右半支外轮廓，对刀具半径值无限制。