求截交线在平面和立体表面上的投影

【问题四】　什么是截交线，怎样求平面立体被截切后的截交线？

2-6　补画六棱柱被截切后的侧面投影。

【解题分析】

六棱柱被一个正垂面和一个侧平面截切，水平投影中正垂面与六棱柱的截交线的投影都落在棱面的积聚性投影中，而侧平面的水平投影积聚为一条直线，因此，水平投影已知，不需要补线；根据正面投影和水平投影，求出交点的侧面投影，然后依次连接成截交线。

图2-6(a)　六棱柱体被截切

图2-6(b)　三棱柱体被截切

【解题步骤】

略。结果见图2-6(b)。

棱柱被截切的例子有很多，如图2-6(b)是三棱柱被切割的情况，大家可以举一反三进行练习。

2-7　试补全图2-7中缺口三棱锥的俯视图和左视图。

【解题分析】

三棱锥上的缺口可看成由一个水平面与一个正垂面切割三棱锥而形成。其中水平截平面平行于底面；另一个截平面为正垂面。两截平面的交线是正垂线，正垂线的两端点就是两条截交线的分界点。

【解题步骤】

因为两个截平面都垂直于正面，所以截交线的正面投影都分别重合在它们有积聚性的正面投影上，f′(g′)则位于两截平面相交处，故在主视图中直接标上这些交线的投影。

根据直线上点的投影特性，由d′求出水平投影d和侧面投影d″；根据空间两平行直线的投影特性，由d分别作ca和cb底边的平行线为辅助线，由g′、f′在辅助线上求出e、f、g，再根据投影规律求出侧面投影。利用同样的方法再求出正垂面与三棱锥交线的水平投影和侧面投影，如图2-7所示。

图2-7　三棱锥被截切

【问题五】　圆柱被切割可分几种形式，交线形状是什么，怎样求截交线？

2-8　试补全圆柱被切割后的正面投影和侧面投影。

【解题分析】

如图2-8所示，圆柱的上面部分完成了左右对称的切割，分别是平行于轴线的侧平面和垂直于轴线的水平面，侧平面与圆柱的截交线是直线，分别是矩形截断面的前、后两边，水平面与圆柱面的截交线分别是底平面的左右两段圆弧。由于左右对称，所以两者的侧面投影重影，而且反映实形。

图2-8　圆柱被截切(一)

圆柱下部的开槽部分是由两个平行于轴线的正平面和一个垂直于轴线的水平面截切而成的。平行于轴线的正平面，其侧面投影有积聚性，正面投影反映截断面的实形，为水平投影虚线对应的矩形。

【解题步骤】

(1)先画出完整圆柱的三面投影。

(2)根据截切的正面投影和水平投影，求出上部的侧面投影。

(3)根据槽的水平投影和侧面投影求出其正面投影。

2-9　试补全圆柱被切割后的水平投影。

图2-9　圆柱被截切(二)

【解题分析】

如图2-9所示，有两个不同直径的圆柱组合在一起，轴线水平放置，分别被平行于轴线的水平面P和垂直于轴线的侧平面Q切割在圆柱体表面产生截交线，水平面P与圆柱的截交线是直线，截断面是不同大小的矩形框，在水平投影上反映实形。侧平面Q截交线是与圆筒大径相同的部分圆周。

【解题步骤】

(1)先画出完整阶梯圆柱的水平投影。

(2)根据截切的正面投影和侧面投影，分别测量侧面投影矩形的宽度。

(3)根据正面投影和侧面投影求出水平投影。

2-10　已知立体的正面投影和水平投影，作出其侧面投影。

图2-10　圆柱被截切(三)

【解题分析】

如图2-10所示，所给立体的基本形体是轴为铅垂线的空心圆柱，上方左、右两侧对称地各被一个侧平面和一个正垂面切去一块，下方中部由一个水平面和两个侧平面截切形成一个缺口。

【解题步骤】

(1)作出完整空心圆柱的侧面投影。

(2)分别求出空心圆柱上方、下方中部两个侧平面的水平投影。

(3)作出上方侧平面与空心圆柱外表面和内表面的截交线——铅垂线。

(4)作出上方正垂面与空心圆柱外表面和内表面的截交线——椭圆弧。

(5)求出下方水平面、侧平面与空心圆柱外表面和内表面的截交线。

(6)判别可见性，整理轮廓线。

2-11　已知在圆柱中间部分从前向后开了一个三角形通槽，试完成水平投影和侧面投影。

图2-11　圆柱开槽

【解题分析】

如图2-11所示，此回转体圆柱中间的三角形通槽由一个水平面和一个侧平面和一个正垂面组成。水平面与圆柱面的交线均为水平圆弧，水平投影反映实形；侧平面与圆柱面相交，交线为直线；正垂面交线为椭圆弧。三个平面两两相交，交线都为正垂线，交线的端点在圆柱的表面上。

【解题步骤】

(1)作出完整回转体的水平投影。(www.xing528.com)

(2)作出水平面与圆柱交线的侧面投影。

(3)作出侧平面与圆柱交线的侧面投影。

(4)判别可见性，整理轮廓线。

【问题六】　圆锥被切割可分几种形式，截交线形状分别是什么，怎么求截交线？

2-12　已知圆锥切割后的正面投影，补全水平投影和侧面投影。

【解题分析】

如图2-12所示，立体由三个平面截切圆锥而形成，其中平面P1过锥顶，所得截交线是三角形；平面P2是倾斜于轴线的正垂面，所得交线是椭圆的一部分；平面P3是垂直于圆锥的轴线的水平面，所得截交线是水平圆的一部分。

【解题步骤】

如图2-12所示，画出圆锥的侧面投影。先求过锥顶的截平面与圆锥面的截交线，作水平面与圆锥面的交线圆，根据正面投影和水平投影，得到截交线的分界点，同时在侧面投影中画出来。椭圆线上的点可以用辅助纬圆法求出。光滑连接相应各点，即得截交线。在完成投影后，应注意物体表面截交线前后是对称的，物体因开槽被切去的轮廓线不应画出。

图2-12　圆锥被截切

2-13　如图2-13所示，已知由一圆锥和两圆柱组成的组合立体被平面切割后的正面投影和侧面投影，补画水平投影。

图2-13　组合体被截切

【解题分析】

该立体由同轴圆柱体和圆锥体组合而成，用一个与轴线平行的水平面截切而成，所得截交线为双曲线和两组平行于轴线的直线。

【解题步骤】

(1)先画出完整立体的水平投影。

(2)根据截切的正面投影和侧面投影，找点作双曲线。

(3)根据正面投影和侧面投影求出水平投影。

2-14　如图2-14(a)所示，已知四棱台中部开一垂直于V面的三棱柱形通孔，试完成水平投影，作出侧面投影。

图2-14(a)　三棱锥台被挖孔

【解题分析】

三棱柱形通孔由一个水平面和两个正垂面组成。水平面的截交线为一个六边形，每一个正垂面的截交线为四边形。三个截平面彼此相交形成三条正垂线。

【解题步骤】

(1)利用辅助线作出水平面的截交线——六边形ACC1A1D1D，其中点A位于棱线上，可由正面投影直接求侧面投影，再求水平投影。

(2)利用辅助线作出两个正垂面的截交线——四边形BCC1B1和BDD1B1。

(3)作出截平面间的交线BB1、CC1、DD1，并完成立体的投影。

平面切割平面立体例子很多，大家可以举一反三，具体见图2-14(b)。

2-15　已知在圆锥中间部分从前往后开了一个由几个平面同时截圆锥体的通槽，试完成水平投影和侧面投影。

【解题分析】

此回转体圆锥中间的通槽由三个水平面和四个过锥顶的正垂面组成。水平面与圆锥面的交线均为水平圆弧，水平投影反映实形；正垂面与圆锥面相交过锥顶，交线为直线。

图2-14(b)　三棱锥被挖孔

图2-15　圆柱开槽

【解题步骤】

略。

【问题七】　圆球被切割的形式有几种，截交线形状分别是什么，怎样求截交线？

2-16　求作正垂面切球的截交线。

【解题分析】

无论截平面在什么位置截切球体，截交线均为圆，只是圆处于投影面的不同位置而已。可以是特殊位置圆，也可以是一般位置圆。截平面是正垂面，截交线为正垂圆；其水平投影和侧面投影均为椭圆。

【解题步骤】

利用球面上取点的办法：求特殊点，求一般点，连线判别可见性。

图2-16　圆球切割(一)

2-17　已知立体切割后的正面投影，作出水平投影和侧面投影。

图2-17　圆球切割(二)

【解题分析】

由已知投影和符号SR可判断立体是一半球体，其中右侧中部有一个阶梯形缺口，缺口由四个水平面和两个侧平面组成，与半圆球的截交线均为圆弧且分别平行于H面与W面。

【解题步骤】

(1)作出完整半球的水平投影和侧面投影。

(2)作出两个侧平面与半圆球的截交线，截交线的W面投影反映圆弧实形，圆心为O″，半径分别为O″1″、O″2″，截交线的H面投影积聚为直线。

(3)作出四个水平面与半圆球的截交线，截交线的H面投影反映圆弧实形，圆心为O，半径分别为O3、O4，截交线的W面投影积聚为直线。

(4)判别可见性，整理轮廓线。