【问题十一】 怎样根据菱形条件和垂直投影定理解题？
1-14 已知菱形ABCD的对角线BD的投影和另一对角线端点的水平投影a，试完成菱形的投影图。
图1-14(a)
图1-14(b)
【解题分析】
菱形的两对角线相互垂直，且其交点平分对角线的线段长度。已知菱形ABCD的对角线BD为正平线，投影d′b′为实长，过其中点作垂线，确定另一条对角线的方向，再根据a确定a′即得所求。
【作图步骤】
(1)用定比法求出d′b′的中点k′，过k′作垂线⊥d′b′，根据点的投影规律作出a′，k′c′=k′a′，即得c。
(2)依次连接abcd,a′b′c′d′即为所求。
答案如图1-14(b)所示。
1-15 求平面五边形的水平投影。
【解题分析】
根据点的从属性解题。先确定C、D两点从属的直线的方向，由于两点可确定一条直线，求出1、2两点，即可确定ac、ad两直线的两方向。再根据投影规律作图即可。
【作图步骤】
(1)连接a′c′、a′d′，再连接b′e′得交点1′、2′。
(2)连接be，根据投影得1、2两点。
(3)连接a1,a2并延长，根据投影规律确定c、d点，即为所求。
图1-15(a)
图1-15(b)
答案如图1-15(b)所示。
【问题十二】 怎样根据直线与平面平行条件解题？
1-16 已知平行两直线AB和CD给定一平面，直线MN和平面EFG均与它平行，试画全它们的另一投影。
图1-16(a)
【解题分析】
根据直线与平面平行，两平面平行的几何条件求解。
如一直线与平面上任一直线平行，则此直线必定与该平面平行。在ABCD平面上取任一平行MN的直线，即可确定mn的方向。
在abcd上作出fe的平行线，即可确定f′，再根据GE∥AB求出g′，然后作图即可。
【作图步骤】
(1)在a′b′c′d′上作任一直线KL的正面投影k′l′平行于m′n′，求出该直线的水平投影kl，过m作kl的平行线，得到mn。
(2)在abcd上作任一直线pq平行于fe，求出对应直线的正面投影p′q′，过e′作p′q′的平行线，确定f′，可得到e′f′，根据g′e′∥a′b′求出g′，连接e′f′g′，即为所求。
答案如图1-16(b)所示。
图1-16(b)
【问题十三】 怎样根据重影点判别可见性？
1-17 求图1-17(a)中直线与平面的交点K，并判别可见性。
图1-17(a)
图1-17(b)
【解题分析】
根据直线与平面的交点K，既在平面上，又在直线上的共有性，而其平面为铅垂面，利用重影点法求交点，可直接作出交点k，根据点在直线上求出k′，再判别可见性。判别可见性的方法有两种：(1)利用重影点；(2)利用投影直接判别。
【作图步骤】
(1)利用重影点法，在水平投影面上直线与平面只有一个公共点，即为交点K的水平投影k。
(2)利用K属于直线AB，求得k′。
(3)利用重影点1′(2′)判别可见性。
答案如图1-17(b)所示。
1-18 求图1-18(a)中直线与平面的交点K，并判别可见性。
图1-18(a)
图1-18(b)
【解题分析】
AB为一般位置直线，求其与平面的交点，应用辅助平面法。本题采用辅助平面为铅垂面，再用重影点法判别可见性。
【作图步骤】
(1)过AB作辅助平面P。
(2)求平面与已知平面的交线Ⅰ、Ⅱ。
(3)求交线Ⅰ、Ⅱ与AB的交点K。
(4)判别可见性，K是可见与不可见的分界线。4′(5′)，2(3)为两对重影点，可见部分用实线表示，不可见部分用虚线表示。
答案如图1-18(b)所示。
【问题十四】 怎样利用辅助平面法求一般位置直线与平面的交点、交线？
1-19 求两平面ABC和DEF交线MN的两面投影，并判别可见性。
【解题分析】
利用辅助平面法求交点，选取DEF的两条边DE、DF，分别作出它们与ABC的交点，连接两交点即为所求。再利用重影点判别可见性，可见部分的投影线用实线绘制，不可见的部分用虚线绘制。
【作图步骤】
(1)利用辅助平面法Pv、Rv(此处为正垂面)分别求出直线DE、DF与ABC的交点：M(m,m′)，N(n,n′)。
(2)连接mn,m′n′即为所求交线MN的两投影。
(3)判别可见性，完成作图。
答案如图1-19(b)所示。
图1-19(a)
图1-19(b)
【问题十五】 怎样根据直角投影定理，运用直角三角形法，求线段的实长？
1-20 作等边三角形ABC，已知顶点A，且顶点B和C属于直线EF。(www.xing528.com)
图1-20(a)
【解题分析】
等边三角形的高垂直且平分底边。图中EF为正平线，BC又在EF上，则ABC的高AD在V面的投影a′d′垂直于e′f′。因此先作出高AD，并求出其实长，再由AD的实长作出该等边三角形的实形，得实长BC。
【作图步骤】
(1)由a′引e′f′垂线并交e′f′于d′，根据点D的正面投影d′，可以确定水平投影d。分别以a、d的y坐标差和a′d′线段长度为直角边作直角三角形，求出AD的实长。
(2)以AD实长为直角边作一角为60°的直角三角形，斜边为等边三角形的边长，另一直角边为边长BD的长，如图1-20(b)所示。
(3)取b′d′=BD得b′，对称得c′。
(4)连接a′b′，a′c′，ab,ac，完成作图。
答案如图1-20(b)所示。
图1-20(b)
【问题十六】 怎样作直线的垂直面？
1-21 求图1-21(a)中A及B两点等距离的点的轨迹。
【解题分析】
与A、B两点等距离点的轨迹是A、B两点连线的中垂面。定理：直线垂直于一平面，则该直线的正面投影必定垂直于该平面上正平线的正面投影；直线的水平投影必定垂直于该平面上水平线的水平投影。
【作图步骤】
(1)用定比法作出中点C。
图1-21(a)
图1-21(b)
(2)过c′作f′c′垂直于a′b′，过c作fc平行于X轴；过c作ec垂直于ab,e′c′平行于X轴。
(3)平面FCE的投影即为所求。
答案如图1-21(b)所示。
1-22 已知矩形ABCD一边的两个投影和其邻边的一个投影，试画全该矩形的投影图。
图1-22(a)
图1-22(b)
【解题分析】
矩形ABCD是一个平面，且有AB⊥BC。过点B作一平面与AB垂直，BC必定在所作的平面内。因此，本题的作图方法是首先确定已知直线的垂直面，再在已知平面上确定点，最后补全矩形投影。
【作图步骤】
(1)过点B作一平面BEF⊥AB，方法同上题。
(2)点O在直线EF上，已知o′，即可求出o，连接bo延长得c。
(3)作CD∥AB、AD∥BC，完成作图。
答案如图1-22(b)所示。
【问题十七】 怎样根据已知条件，进行综合解题思路训练？
1-23 过点K作直线与交叉两直线AB和CD相交。
图1-23(a)
【解题分析】
对点K，让其与任一直线共面，求另一直线与该面的交点，交点与点K的连线即为所求直线。本题，点K与直线AB组成一平面KAB，求出直线与平面KAB的交点F，连接FK并延长交AB于点E，即为所求。
【作图步骤】
(1)连接ABK作一平面。
(2)用辅助平面法求出直线CD与平面ABK的交点F。
(3)连接KF，并延长且与AB相交于点E。
(4)连接KE，即为所求。
答案如图1-23(b)所示。
图1-23(b)
1-24 作直线MN与直线AB和CD都相交且平行于直线EF。
图1-24(a)
【解题分析】
该题直线MN需满足两个条件，一是与直线AB和CD都相交，二是还要平行于直线EF。可以包含AB作一平面，使其平行直线EF。求出直线CD与平面GAB的交点M，过点M作直线MN平行EF交AB于N,EF即为所求。
【作图步骤】
(1)过点A作AG∥EF得平面AGB平行直线EF，即作a′g′平行于e′f′，ag平行于ef。
(2)用辅助平面法求出直线CD与平面AGB的交点M(m,m′)。
(3)过m′作e′f′的平行线交a′b′于n′，连接m′n′。
(4)作出水平投影mn，并连接之，即为所求。
答案如图1-24(b)所示。
图1-24(b)
1-25 求点K到平面△ABC的距离。
【解题分析】
点到平面的距离，是该点到平面垂足之间的长度。根据垂直定理，直线与平面垂直，则直线垂直平面上的任意直线(过垂足或不过垂足)。同理，当一直线垂直平面上的任意两条相交直线，则该直线垂直于给定的平面。
由此可知，一直线垂直于一平面，则该直线的正面投影必定垂直于该平面上正平线的正面投影；直线的水平投影必定垂直于该平面上水平线的水平投影。
据此可在平面ABC上，作一条正平线和一条水平线，过点K作它们的垂线，再利用直角三角形法求出实长。
图1-25(a)
图1-25(b)
【作图步骤】
(1)在ABC平面上作一正平线CD和一水平线BE，使k′f′垂直d′c′。
(2)用辅助平面法求出直线KF与平面ABC的交点G，过kf′作正垂面P，平面与△ABC交线HF的正面投影h′f′，求作HF的水平投影hf。过k点作be垂线。直线与hf的交点即为g。
(3)作出Δy。
(4)用直角三角形法求出实长，即为所求。
答案如图1-25(b)所示。
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