工程优化设计的算法优化方案

有了数学模型，就要选择合适的算法。求解非线性规划问题，数学上有各种各样的算法，同求解非线性电路和求解非线性控制系统一样，没有一种通用算法适用于各种数学模型。优化的艺术在于恰当地选择最好的算法。算法与问题的性质有关，衡量一种算法是否有效，主要看以下几个方面：①收敛性及收敛速度—目标函数下降到某一定值时，函数（包括梯度）的计算次数；②对存储容量的要求；③通用性。

即使是较成熟的算法，应用时对于不同性质的问题仍可能出现以下一些情况：

（1）变量间数量差别很大或各约束值的数量级差别很大。例如，电容以10－6法拉计，功率以千伏安（103）甚至兆伏安（106）计。数量级差别太大会引起收敛慢，因此需要对变量定尺度，使各变量间数量级相差在1～10之间。

（2）计算过程中可能违背某项约束，使设计点离开可行域，甚至某些变量成为负的，从而使目标函数值向负的方向发散，这就需要加大违背约束项的权因子。

（3）由于优化设计数学模型是高维的，变量间互相有关联，因而可能有多个局部极小值。这样，寻优得到的点是局部极小点，与初始值或其他因素有关。一般工程上有经验设计值时，可以用这些经验值作为初值，输入计算机。但也有先用随机搜索法得到一些较优点，再将这些点作为各个初始值输入计算机，进行寻优计算。

上面已说明，工程优化设计的模型是有约束（m 个等式约束，p 个不等式约束）的非线性函数求极值问题，如式（10.4），一般求解这类问题需要用参数变换方法，构造增广目标函数，或称罚函数

式中：rk称为第k 步迭代的罚因子，或权因子。

{rk}是逐渐趋于零的下降序列，于是式（10.19）表示的问题可转换为求下述无约束极值问题

每改变一次罚因子rk，对P（x，rk）求极小，因此，这一方法称为序贯无约束极小化方法，是一种罚函数法。

它的主要缺点是：权因子rk的改变是盲目的。一般按照一定比率使其逐步减少。另外，当rk逐渐趋于零时，在最优点X*附近，P（X，rk）的二次偏导数矩阵（Hesse阵）逐渐变为病态，使搜索方向不正确，同时，也影响到收敛速度。

乘子罚函数法是一种改进的罚函数法。

对于如下问题

用乘子罚函数法时，应构造下述增广目标函数

式中：r为罚因子；λi及μj为拉格朗日乘子。(www.xing528.com)

乘子迭代公式为

因此，这一方法的实质是求P 的无约束极小值点和调整乘子向量的迭代过程交替进行，促使X 收敛于最优点X*，λ收敛于λ*。

罚因子的选择有一定的方法，可保证r增大到某一定值以后就不再增大。

乘子罚函数法保持了原罚函数法的优点，又克服了罚因子越取越大造成的困难，收敛速度比罚函数法快。

图10.7　直接搜索法程序框图

由上述可知，应用式（10.19）和式（10.22）都可将有约束极小化问题转化为无约束极小化问题。多维无约束极小化问题的算法也有许多类型，其中一类是直接搜索法，即只计算目标函数值，而不必计算函数的梯度。属于这类方法有：单纯形法、随机搜索法、共轭方向法等。另一类是计算目标函数梯度或二次梯度等，具体算法是每次产生一个新的计算点Xk＋1，都需完成确定的搜索方向和步长两项工作。不同算法的区别也主要在这一步。确定步长是属于一维搜索的范围，主要算法有黄金分割（0.618）法、二次及三次插值法等。

因此，在一个有约束的极小化问题中，除主程序外，还包含若干个子程序，如一维搜索子程序，计算目标函数梯度的子程序，判断是否收敛的子程序等。

如图10.7所示直接搜索法求无约束极值的一般程序框图。