设计数学模型的实例分析的介绍

【例10.1】 磁化曲线拟合问题。

对铁心测定磁化曲线如图10.5所示，得到若干个试验点（Bi，Hi），i＝1，2，…，r。现在要用一条理论曲线去拟合，以使与各试验点误差最小，可用最小二乘误差法。

将磁化曲线理论公式用多项式表示

选择各系数aj使与试验点逼近。

误差函数为

图10.5　铁心磁化曲线实验结果

于是，问题变为求a0，a1，…，an－1，使f（a0，a1，…，an－1）为极小。这是无约束极小化问题。

【例10.2】 单相小功率变压器优化设计。

设要求变压器输出功率为PL，功率损耗小于P0，单位面积散发功率为PT（kW/m2）。确定电磁参数B 和j，以及铁心绕组的几何尺寸，满足上述三项设计要求，并且变压器的主要材料费及运行电费为最小。

如图10.6所示壳型单相变压器的结构及主要尺寸。假设绕组填满铁心窗口，因此，绕组截面积即为窗口面积x2x3，绕组总厚度为x2，铁心厚x4，窗口高与宽分别为x3与x2，铁心中柱宽为x1。

图10.6　单相小功率变压器铁心尺寸

由此可求出铁心体积Vc及绕组体积Vm。

变压器散热面积Sk为铁心上、下、左、右表面、前后侧表面及绕组外表面之和。

变压器设计容量为

式中：kc、km分别为铁心叠片系数及绕组填充系数。

可得

式中：K＝4.44fkckm；x＝[x1，x2，x3，x4，j，B]T。

变压器总损耗PT为铁损PFe与铜损PCu之和（令γ和δ分别为铁和铜的单位体积的重量）。

因此，约束条件如下：(www.xing528.com)

单位面积散发功率小于 PTg3（x）＝PT（x）/Sk－PT≤0

此外，还应满足变量为正的要求，即x1＞0，x2＞0，x3＞0，x4＞0，j＞0，B ＞0。

目标函数为材料费函数C1（x）与运行费函数C2（x）之和，即

式中：aFe及aCu分别为硅钢片及导线材料的单价；at为每千瓦时电费；kL为负荷系数；t为运行总时间，寿命以20年计，t＝17520h。

式中：ρ＝tatγ；σ＝tatδKL。

于是变压器优化设计数学模型是：有9个不等式约束，6个设计变量的正多项式函数极小化问题。

饱和电抗器的优化设计模型的形式与上述模型大同小异。