数学模型的优化设计

优化设计的目的是求得饱和电抗器的一组设计参数，以便在满足各项性能要求的前提下，使收效最高，代价最小。

设计参数在设计模型中称为设计变量，如铁心的几何尺寸、绕组匝数、磁密、电流密度等，用向量x＝[x1、x2、…、xn]T表示，上角标T 为向量转置符号，n个设计变量组成n维设计空间。任何一个设计都可用n维设计空间中的一个点来表示。有时将有n个设计变量的优化设计问题称为n维问题。

设计必须满足的要求（包括性能指标等）在优化设计模型中称为约束。为了用数学形式表示各项性能指标要求，常常用设计变量的非线性函数g（x）、h（x）表示，列成不等式或等式的形式，如

例如，要求所设计的饱和电抗器输出容量大于给定的负载功率PL，可将输出容量设计值表示成磁密、几何尺寸、电流密度等参数的函数形式，作为性能指标要求之一，如

式（10.3）可表示为

其他技术要求还可能是温升设计值T（x）小于规定温升（例如B级绝缘是85℃），效率设计值η（x）大于给定要求等，对于饱和电抗器还有特殊的要求，如调压深度（或输出电流变化范围）的要求等。

此外，还应有对设计变量上下限的要求，如

式中：xi为第i个设计变量；ai为第i个设计变量的下限；bi为其上限。

这些要求形成了对设计空间寻优范围的约束（以下简称约束）。满足所有约束的设计空间称为可行域，最优设计点X*只能在这个可行域内（包括约束边界）。图10.1表示在一个二维设计问题（变量有2个，称为二维问题）的设计平面上由5个约束形成的可行域。

因此优化设计问题是：有若干个不等式约束和等式约束时，求目标函数极小值问题，数学上称为非线性规划。非线性规划数学模型的一般形式为

式中：En为n 维欧几里得空间；s.t.为Subject to的缩写，表示“满足约束”。

等式约束数m 必须小于变量数n，这是因为如果m＝n，则为了满足等式约束，得到的不一定是最优解，而如果m＞n，即等式约束数比变量数还多，则解是不存在的。

对于第j个不等式约束，可以加变量Vj，化成等式约束，例如，对于“小于”零的不等式约束

可变成如下等式约束

式中：Vj为第j 个松弛变量。

将不等式约束函数hj（x）加负号，则可以将“大于”零的不等式约束等效变换为 “小于”零的不等式，或相反。例如hj（x）≥0 可变换为

图10.1　二维问题的可行域举例

对于m 个等式约束

则可化成2m 个不等式约束

因此，式（10.4）给出的非线性规划数学模型是一般的形式。

下面举一个二维变量的例子，用几何图解方法说明非线性规划问题。

满足约束①4x1＋5x2≤1500；②5x1＋3x2≤1575；③x1＋2x2≤420；④xj≥0，j＝1，2。

这是一个二次规划模型，目标函数为二次函数，它也可改写成如下的标准形式

约束①、②、③都是线性不等式，约束④为变量非负约束。因为只有两个变量，因此，可以在x1、x2平面上用作图方法求解，比较直观。

图10.2　二次规划图例

图10.2 中画出了本例中不同目标函数值的f（x），也称为等高线族，是抛物线形式。图10.2中画出了约束直线方程①、②、③，直线②、③与非负约束直线x2＝0，x1＝0（即横轴与纵轴）构成的区域F 即为可行解域，这些直线是F 域的边界，显然，为了满足上述4个不等式约束，这个二次规划模型所有可能的解都应落在可行域F 内。约束①位于可行域F 的上方，解落在可行域F 内一定满足约束不等式①，并有一定的裕量，因此，约束①称为松弛约束。

图10.2用图解法作出了目标函数的等高线，显然，满足约束不等式的最优值f*（x）即max f（x），一定位于某约束直线方程上，或位于可行域F 边界上，本例中最优解x*＝（172，124）T，位于约束③的直线方程上，f（x*）＝5285.6。

常见的目标函数形式如下：

（1）线性函数

（2）非线性函数

式中：wi为第i个权因子；ei为第i个误差函数。

式（10.9）表示高斯误差平方加权和，在最优拟合问题中常见。(www.xing528.com)

（3）二次函数

式中：A 为矩阵；C 为常向量；B 为常数。

（4）正多项式函数

式中：ci≥0；xj≥0，j＝1，2，…，n；ain为正、负实数或零。

式（10.11）在工程优化设计技术中常见。

按照目标函数、约束函数的性质及变量的特点，优化问题可分类如下：

（1）线性规划——所有约束及目标函数均为线性。

（2）非线性规划——目标函数或约束中的一个为非线性。

（3）二次规划——目标函数为二次，约束均为线性。

（4）几何规划——f（x）及所有g（x）、h（x）均为正多项式。

（5）整数规划——变量必须为整数。

（6）动态规划——变量为时间或空间的函数。

（7）凸规划——f（x）为凸函数，g（x）≥0为凹函数。

（8）近似规划——用线性近似方法，以一系列线性规划求解非线性规划。