水工混凝土结构极限状态设计表达式

以概率理论为基础的极限状态设计方法，简称概率极限状态设计法，又称为近似概率法。这种方法是以结构的失效概率和可靠指标来度量结构的可靠度的。

（一）极限状态方程

结构的极限状态用功能函数（或称为极限状态函数）来描述。设有n个相互独立的随机变量xi=（i=1，2，…，xn）影响结构的可靠度，则结构功能函数Z的一般表达式为

式中　x——基本变量，表示结构上的各种荷载效应和影响结构抗力的各种因素，如荷载、材料性能、几何参数、计算公式精确性等因素。

当

时，则称式（1-13）为“极限状态方程”。

荷载效应S和结构抗力R是功能函数Z的两个基本变量，因荷载效应S和结构抗力R都是随机变量，假设S和R相互独立，且均服从正态分布，则结构的功能函数即为

显而易见，功能函数Z的结果有以下3种可能。

（1）当Z＞0时，R＞S，结构能完成预定功能要求，处于可靠状态。

（2）当Z＜0时，R＜S，结构不能完成预定功能要求，结构处于失效状态，即不可靠状态。

（3）当Z=0时，R=S，结构达到功能要求的限值，处于极限状态，此时Z=R-S=0为极限状态方程。

结构所处的状态如图1-27所示。

（二）承载能力极限状态设计表达式

图1-27　结构所处的状态

《水工混凝土结构设计规范》规定，对可求得截面内力的混凝土结构构件，采用极限状态设计法，在规定的材料强度和荷载取值条件下，采用在多系数分析基础上以安全系数表达的方式进行设计。

承载能力极限状态设计时，应采用下列设计表达式，即

式中　K——承载力安全系数；

　　　S——荷载效应组合设计值；

　　　R——结构构件的截面承载力设计值，由材料的强度设计值及截面尺寸等因素计算得出。

1.承载力安全系数K的确定

承载力安全系数K根据水工建筑物级别和荷载效应组合确定。水工建筑物的级别是根据其所属工程等级及其在工程中的作用和重要性来确定的（表1-11）。荷载效应组合分为基本组合和偶然组合。基本组合是按承载能力极限状态设计时，使用或施工阶段的永久荷载效应与可变荷载效应的组合。偶然组合是按承载能力极限状态设计时，永久荷载效应、可变荷载效应与一种偶然荷载效应的组合。

承载能力极限状态计算时，钢筋混凝土、预应力混凝土及素混凝土结构构件的承载力安全系数K不应小于表1-12的规定。

表1-11　水工建筑物级别

表1-12　混凝土结构构件的承载力安全系数K

注 1.水工建筑物的级别应根据《水利水电工程等级划分及洪水标准》（SL 252—2017）确定。
2.结构在使用、施工、检修期的承载力计算，安全系数K应按表中基本组合取值；对地震及校核洪水位的承载力计算，安全系数K应按表中偶然组合取值。
3.当荷载效应组合由永久荷载控制时，表列安全系数K应增加0.05。
4.当结构的受力情况较为复杂、施工特别困难、荷载不能准确估计、缺乏成熟的设计方法或结构有特殊要求时，承载力安全系数K宜适当提高。

2.荷载效应组合设计值S的确定

（1）基本组合。当永久荷载对结构起不利作用时，荷载效应组合值S由式（1-16）计算，即

当永久荷载对结构起有利作用时，荷载效应组合值S由式（1-17）计算，即

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式中　S——荷载效应组合设计值；

　　　SG1k——自重、设备等永久荷载标准值产生的荷载效应；

　　　SG2k——土压力、淤沙压力及围岩压力等永久荷载标准值产生的荷载效应；

　　　SQ1k——一般可变荷载标准值产生的荷载效应；

　　　SQ2k——可控制其不超出规定限值的可变荷载标准值产生的荷载效应。

（2）偶然组合。偶然组合条件下，荷载效应组合值S由式（1-18）计算，即

式中　SAk——偶然荷载标准值产生的荷载效应；

其余符号意义同前。

式（1-18）中，参与组合的某些可变荷载标准值，可根据有关规范作适当折减。

荷载的标准值可按《水工建筑物荷载设计规范》（DL 5077—1997）及《水工建筑物抗震设计规范》（SL 203—97）的规定取用。

荷载效应组合设计值S即为截面内力设计值（M、N、V、T等）。

（三）正常使用极限状态设计表达式

正常使用极限状态验算应按荷载效应的标准组合进行，并采用下列设计表达式，即

式中　Sk（·）——正常使用极限状态的荷载效应标准组合值函数；

　　　c——结构构件达到正常使用要求所规定的变形、裂缝宽度或应力等的限值；

　　　Gk，Qk——永久荷载、可变荷载标准值，按《水工建筑物荷载设计规范》（DL 5077—1997）的规定取用；

　　　fk——材料强度标准值，按项目一中表1-2、表1-3、表1-6确定；

　　　αk——结构构件几何参数的标准值。

需要注意的是，正常使用极限状态验算是在承载能力满足要求的前提下进行的，其可靠度要求低于承载力计算值，材料强度采用标准值，而非设计值。

图1-28　案例1-1图

活动1：荷载效应组合值的计算案例。

【案例1-1】 某3级水工建筑物有一钢筋混凝土简支梁，如图1-28所示，计算跨度l0=4m，净跨ln=3.76m。该简支梁承受的永久荷载（包括自重）标准值gk=10kN/m，承受的可变荷载为跨中集中荷载，其标准值为Qk=30kN。求承载能力极限状态下梁跨中截面的弯矩设计值M和支座剪力设计值V。

解 将永久荷载标准值在跨中截面产生的弯矩记为MG1k，将永久荷载标准值在支座处产生的剪力记为VG1k，将可变荷载标准值在跨中截面产生的弯矩记为MQ1k，将可变荷载标准值在支座处产生的剪力记为VQ1k，则

该梁所受荷载组合为基本组合，且永久荷载对结构起不利作用，则承载能力极限状态下，该梁跨中截面的弯矩设计值M为

该梁支座剪力设计值V为

【案例1-2】 在案例1-1中，求正常使用极限状态下该梁跨中截面按荷载标准值计算的Mk和支座截面按荷载标准值计算的Vk。

解 该梁跨中截面按荷载标准值计算的Mk为

该梁支座截面按荷载标准值计算的Vk为