层次分析法：提高决策效率

7.1.3.1　概述

层次分析法（Analytical Hierarchy Process，简称AHP）是美国匹兹堡大学教授A.L.Saaty于20世纪70年代提出的一种系统分析方法[13]。由于研究工作的需要，Saaty教授开发了一种综合定性与定量分析，模拟人的决策思维过程，以解决多因素复杂系统，特别是难以定量描述的社会系统的分析方法。1977年举行的第一届国际数学建模会议上，Saaty教授发表了《无结构决策问题的建模——层次分析理论》。从此，Saaty开始引起了人们的注意，并陆续应用。1980年，Saaty教授出版了有关层次分析法的专著。之后，又陆续发表了一些层次分析法应用的论著。近年来，世界上有许多著名学者在层次分析法的理论研究和实际应用上做了大量的工作。

层次分析法是一种能将定性分析与定量分析相结合的系统分析方法，是分析多目标、多准则的复杂大系统的有力工具。它具有思路清晰、方法简便、适用面广、系统性强等特点，便于普及推广。层次分析法将人们的思维过程和主观判断数学化，不仅简化了系统分析与计算工作，而且有助于决策者保持其思维过程和决策原则的一致性，它最适宜于解决那些难以完全用定量方法进行分析的决策问题。

应用层次分析法解决问题的思路是：首先，把要解决的问题分层系列化，即根据问题的性质和要达到的目标，将问题分解为不同的组成因素，按照因素之间的相互影响和隶属关系将其分层聚类组合，形成一个递阶的、有序的层次结构模型；然后，对模型中每一层次因素的相对重要性，依据人们对客观现实的判断给予定量表示，再利用数学方法确定每一层次全部因素相对重要性次序的权值；最后，通过综合计算各层因素相对重要性权值，得到最低层（方案层）相对于最高层（总目标）的相对重要性次序的组合权值，以此作为评价和选择方案的依据。

7.1.3.2　层次分析法步骤

用层次分析法分析问题大体要经过以下五个步骤：（1）建立层次结构模型。

（2）构造判断矩阵。

（3）层次单排序。

（4）层次总排序。

（5）一致性检验。

其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。

1.建立层次结构模型

图7-1　递阶层次结构模型

运用层次分析法进行系统分析，首先要将所包含的因素分组，每一组作为一个层次，按照最高层、若干有关的中间层和最低层的形式排列起来。例如，对于决策问题，通常可以将其划分成如图7-1所示的层次结构模型。最高层表示解决问题的目的，即应用层次分析法所要达到的目标。中间层表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节，一般又分为策略层、约束层、准则层等。最低层表示解决问题的措施或政策（即方案）。

2.构造判断矩阵

任何系统分析都以一定的信息为基础。层次分析法的信息基础主要是人们对每一层次各因素相对重要性给出判断，这些判断用数值表示出来，写成矩阵形式就是判断矩阵。判断矩阵是层次分析法工作的出发点。构造判断矩阵是层次分析法的关键。

判断矩阵表示针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相对重要性。假定A层中因素Ak与下一层次中因素B1，B2，…，Bn有联系，则构造的判断矩阵如表7-1所示。

表7-1　判别矩阵

表7-1中，bij是对于Ak而言，Bi对Bj的相对重要性的数值表示，通常bij取1、3、5、7、9及它们的倒数。bij＝1，表示Bi与Bj一样重要；bij＝3，表示Bi比Bj重要一点（稍微重要）；bij＝5，表示Bi比Bj重要（明显重要）；bij＝7，表示Bi比Bj重要得多（强烈重要）；bij＝9，表示Bi比Bj极端重要（绝对重要）。它们之间的数2、4、6、8及各数的倒数具有相应的类似意义。显然，任何判断矩阵都应满足

3.层次单排序

所谓层次单排序是指根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言，本层次与之有联系的因素的重要性次序的权值。它是本层次所有因素相对上一层次而言的重要性进行排序的基础。

层次单排序可以归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题，即对判断矩阵B，计算满足

的特征根与特征向量，其中λmax为B的最大特征根，W为对应于λmax的正规化特征向量，W的分量Wi即是相应因素单排序的权值。(www.xing528.com)

为了检验矩阵的一致性，需要计算一致性指标CI，定义显然，当判断矩阵具有完全一致性时，CI＝0。λmax-n愈大，CI愈大，矩阵的一致性愈差。为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要将CI与平均随机一致性指标RI进行比较。对于1～9阶矩阵，RI分别如表7-2所示。

表7-2　1～9阶矩阵的平均随机一致性指标

4.层次总排序

利用同一层次中所有层次单排序的结果，就可以计算针对上一层次而言，本层次所有因素重要性的权值，这就是层次总排序。层次总排序需要从上到下逐层顺序进行，对于最高层下面的第二层，其层次单排序即为总排序。假定上一层次所有因素A1，A2，…，Am的总排序已完成，得到的权值分别为a1，a2，…，am，与ai对应的本层次因素B1，B2，…，Bn单排序的结果为

这里，若Bj与Ai无关，则bij＝0，层次总排序如表7-3所示。

表7-3　层次总排序

显然

即层次总排序仍然是归一化正规向量。

5.一致性检验

为评价层次总排序的计算结果的一致性如何，需要计算与单排序类似的检验量。