多目标问题的单目标化处理方法

多目标问题往往不能直接求解，将多目标问题转化为形式上的单目标决策问题是比较常用和有效的多目标决策问题求解思想。因此，多目标问题的求解通常是引入某种度量函数（效用函数）将多目标问题转化为单目标问题求解。

考虑多目标决策问题，有

式中：f（x）和g（x）为目标函数，f（x）越大越优，g（x）越小越优；X为约束条件。

下面将分别介绍几种常见的转化方法。

1.主要目标法

主要目标法又称约束法，其基本思路是根据多目标问题的具体情况，从多个目标中选择一个目标作为主要目标，而其余目标（次要目标）则限定在一定的范围内以构成对主要目标的约束条件。这样多目标问题就转化为单目标问题。

比如，对于如下多目标问题，有

如果选择f1（x）为主要目标，而对其余的目标函数fk（x）（k＝2，3，…，n）根据具体情况给定相应的目标上限fk，max和下限fk，min，则以上多目标问题就可转化为如下单目标问题，即

2.线性加权法

为了便于多目标规划问题的求解，最普遍的方法就是采用合理的手段设法将多目标问题转化为单目标规划问题，基于这种思想，可以将各个单项目标的满意度函数通过线性加权作为多目标决策问题的目标函数[5，6]，即

如果给出相应各单项目标的满意度μi和μj，则多目标规划问题可转化为如下单目标规划问题

可以证明上述单目标规划问题的最优解即为原多目标规划问题的有效解[5，6]。对于上述单目标规划问题，可根据决策者的主观愿望要求不断逐步调整μi和μj的下限值进行交互决策，直到决策者最终满意时便得到相应的有效解。

另外，也有将各单项目标函数直接进行加权组合构造新的单目标规划问题的[7]，即

显然，上述两种方法的主要问题在于，各目标权重往往都是通过经验确定，没有统一的算法，具有人为任意性，在实际操作过程中具有一定的难度，有待进一步改进。这也是目前众多多目标问题解决方法中有待改善的主要问题。

3.综合贴近度函数法

徐泽水根据相似系数的思想，提出了用变量间夹角的余弦来描述多目标的综合满意度，从而实现多目标问题的单目标化[5，6，8]。即(www.xing528.com)

分析可知，对于任意x∈X，λ（x）的值越大表明fi（x）、gj（x）的值越接近相应目标的理想值，并通过控制λ（x）的大小以实现各单项目标间的整体协调，进而实现多目标问题的单目标控制。

实际应用表明，cosα、cosβ以及λ（x）的值随fi（x）和gj（x）的变化反映并不灵敏，主要体现在cosα、cosβ的值总是很接近，而λ（x）的值则在0.5附近浮动，不能很好地体现系统随各单项目标值变化而变化的情况。同时，即使各项目标均达到理想值时，由式（4-14）可知，目标综合贴近度λ（x）的值也并未达到1，这与实际并不相吻合，因此有待进一步改进。

4.功效系数法

对于不同目标fi（x）（i＝1，2，…，n）分别给以不同的功效系数di，满足0≤di≤1，然后用一个总的功效系数D来评价各个方案，功效系数D计算公式较多，其中一种如下

D值越大的方案即认为越好。di与fi（x）的关系是通功效函数来确定，根据具体决策目标的要求不同，可灵活采用不同的功效函数形式，如线性函数、指数函数等。

5.平方和法

6.费用—成本法

如果能将n个目标分为两大类：一类属于费用类，如成本、材料、人力、重量等，表现为目标函数值越小越好；另一类是属于效果类，如产量、效率、利润等，表现为目标函数愈大愈好。对于这种情况，其统一的目标函数可以构造为

式中：s为n个目标函数中属于费用类的目标函数的总数。

当F（x）达到最小值时，即意味着各项目标函数分别达到其相应的最优值，于是将多目标决策问题转化为单目标函数优化问题解决。