多目标求解的思路优化

现实世界中的决策问题，大多是多目标的，一般评判某项决策的好坏往往需同时考察很多个指标，尤其对复杂的大系统，需考虑的指标就更多。在这些指标中，有主要的，也有次要的；有近期的，也有远期的；有相互补充的，也有相互对立的。因而使得决策者难以决断。多目标决策，实际上就是要在各种目标之间和各种限制条件之间寻求一个合理的妥协，即通常所说的寻求一个最优解。多目标决策的方法有很多，如何选择相对较优的方法来解决某一个问题，是一个值得研究的问题。

多目标规划的解法可以分为直接法和间接法两大类[2]。

（1）直接法针对规划本身，直接求出其有效解，目前只提出了几类特殊的多目标规划问题的直接解法，包括单变量多目标规划方法、线性多目标规划方法及可行域有限时的优序法等。

（2）间接法则根据问题的实际背景，在一定意义下将多目标问题转化为单目标问题来求解，间接法主要包括：

1）转化为单目标问题的方法。按照一定的方法将多目标问题转化为单目标规划，然后利用相应的方法求解单目标规划问题，将其最优解作为多目标问题的最优解。这类方法的关键是保证单目标规划的最优解是多目标规划的有效解或弱有效解，常用的方法有主要目标法、评价函数法（包括加权和法、理想点法、乘除法、功效系数法等）等。

2）转化为多个单目标问题的方法。按照一定的方法将多目标问题转化为有序的多个单目标问题，然后依次求解这些单目标规划问题，将最后一个单目标问题的最优解作为多目标问题的最优解。这类方法包括分层序列法、重点目标法、分组序列法、可行方向法、交互规划法等。

3）目标规划法。对于每一个目标都给定了一定的目标值，要求在约束条件下目标函数尽可能逼近给定的目标值。常用的方法有目标点法、最小偏差法、分层目标规划法等。

多目标决策问题最显著的共同特点是目标间的不可公度性和目标间的矛盾性。所谓目标间的不可公度性是指各个目标常常没有统一的度量标准，因而难于比较。例如，在水库问题中发电量以度计，而淹没损失则以亩计。又如在人才选拔问题中干部的品德、才能和健康也都是不能公度的。因此一般只能根据多个目标对决策人所产生的综合效用去估计它们的价值。如果分析人不直接采用效用函数去求解多目标决策问题，而借助于其他方法，也仍然要克服目标间不能公度的困难。目标间的矛盾性是指如果采用一种方案去改进某一目标的值，可能会使另一目标的值变坏。例如在水库问题中建设高坝大库，有利于发电和防洪，但增加了淹没损失。又如在人才选拔问题上，由于金无足赤，人无完人，体现在每一个干部身上，德、才、体可能出现矛盾。因此，在一般的多目标决策问题中通常没有一个方案能使每个目标的值都达到最优，即均优于其他所有方案。这样，多目标决策问题一般不存在一个在通常意义下的最优解。但是，任何多目标决策问题都有它的非劣解。粗略地说，所谓非劣解是指这样一个解，在所有可行解集中没有一个解优于它，这也就意味着，它不劣于可行解集中的任何一个解。一般，非劣解为一集解，因此，还需要按照决策人的偏好去从中选择他最爱好的解。

多目标优化决策问题的一般数学模型如下(www.xing528.com)

其中：x＝（x1，x2，…，xn）T，X＝{x|gk（x）≤0，k＝1，2，…，m}。

我们总希望对所有目标进行最优化，使每个目标都达到极大，这样的一个解称为多目标决策问题的一个理想解，以xS∈X来表示。所谓理想解就是以下n个单目标决策问题的解

然而由于多个目标之间是相互冲突和矛盾的，通常找不到一个解xS使所有目标都达到最优。在这种情况下，决策者所要寻找的是一个非劣解。

多目标决策问题的非劣解在大多数情况下会有很多个，而最终提供使用的解往往只有一个，这个解通常叫做选好解。因而决策者的任务就是在这一非劣解集中结合其个人的偏好找出一个选好解，表示决策者偏好信息的一种方法是采用多属性效用函数。

如果给定了决策者的效用函数U，前述多目标优化问题可改写为一新的多目标决策模型，即

这是一个标量函数的极大化问题，这个标量函数就是效用函数。求解上式模型就是在可行域X中寻找一个解，使效用函数U的值达到极大，所得到的解就是选好解。

如果能非常容易地构造出任何关于多目标决策问题的效用函数，那就不需要研究其他的多目标优化方法了。事实上在很多情况下，对某一个决策者或某一群决策者来说很难构造出他或他们的效用函数，因此需要寻找其他的方法来获取决策者的偏好信息，目前国内外许多专家和学者已经提出了很多种方法来求解多目标决策问题，各种方法的主要区别是采用不同的方式去诱导和使用决策者的偏好信息[3]。正是因为效用函数的不同构造方法和途径，因而产生了很多的多目标决策方法，这也是多目标决策问题研究的核心内容和热点所在[4]。