加工误差分析之一：分布图分析法

在机械加工中，经常采用的统计分析法主要有分布图分析法和点图分析法。

1）实际分布图——直方图

（1）直方图的作法与步骤。

①收集数据。抽取样本，样本容量为n，将零件按尺寸大小以一定的间隔范围分成若干组（k组），同一尺寸间隔内的零件数称为频数mi，零件总数为n，频率为mi/n。以频数或频率为纵坐标，以零件尺寸为横坐标，画出直方图，进而画成一条折线，即为实际分布曲线。

在一定的加工条件下，按一定的抽样方式抽取一个样本（即抽取一批零件），样本容量（抽取零件的个数）一般取50～200，测量各零件的尺寸，并找出其中的最大值xmax和最小值xmin。

②分组。将抽取的样本数据分成若干组，组数过多，分布图会被频数的随机波动所歪曲；组数太少，分布特征将被掩盖。分组数k的确定如表6-2所示。

表6-2　分组数k的确定

注：n为抽取零件的件数，即样本容量；k为分组数。

③确定组距、组界及分组。

组距d为：d=（xmax-xmin）/（k-1）

各组组界为：上界sj=xmin+（j-1）d+d/2；下界xj=xmin+（j-1）d-d/2（j=1，2，3，…，k）。

④统计频数分布。将各组的尺寸频数、频率填入表中。同一尺寸或同一误差组的零件数量mi称为频数，频数mi与样本容量n之比称为频率fi，即fi=mi/n。

⑤绘制直方图。以工件尺寸（或误差）为横坐标，以频数或频率为纵坐标，就可作出该批工件加工尺寸（或误差）的实验分布图，即直方图。为了使分布图能代表该工序的加工精度，不受组距和样本容量的影响，纵坐标应改成频率密度

⑥平均值和标准差S。为了分析该工序的加工精度情况，可在直方图上标出该工序的加工公差带位置，并计算出该样本的统计数字特征：平均值和标准差S。

样本的平均值表示该样本的尺寸分散中心，它主要决定于调整尺寸的大小和常值系统误差，即

式中，xi——各工件的尺寸。

样本的标准差S反映了该批工件的尺寸分散程度，它是由变值系统误差和随机误差决定的，即

误差大S也大，误差小S也小。当样本的容量比较大时，为简化计算，可直接用n来代替上式中的（n-1）。尺寸分散范围取为：6S。

（2）方图的观察与分析。直方图作出后，通过观察图形可以判断生产过程是否稳定，估计生产过程的加工质量及产生废品的可能性。直方图如图6-33所示。

①尺寸分散范围小于允许公差T，且分布中心与公差带中心重合，则两边都有余地，不会出废品。

图6-33　直方图

②若工件尺寸分散范围小于其尺寸公差带T，但分布中心与公差带中心不重合，则有超差的可能性，应设法调整分布中心，使直方图两侧均有余地，防止废品产生。

③若工件尺寸分散范围恰好等于其公差带T，这种情况下稍有不慎就会产生废品，故应采取适当措施减小分散范围。

④若工件尺寸分散范围大于其公差带T，则必有废品产生。此时，应设法减小加工误差或选择其他加工方法。

【实例6-1】磨削一批轴径的工件，绘制工件加工尺寸的直方图。实测尺寸与基本尺寸之差如表6-3所示。

表6-3　实测尺寸与基本尺寸之差μm

解：（1）收集数据：取n=100，xmax=54 μm，xmin=16 μm。

（2）确定分组数k、组距d、各组组界和组中值，根据表选取k=9，则

取d=5 μm，则

各组组界为：

第一组下界值为

第一组上界值为

……

各组组中值为xmin+（j-1）d

（3）整理频数分布表，如表6-4所示。

表6-4　频数分布表

续表

（4）根据数据画直方图6-34。

图6-34　轴径直方图

（5）计算和S。在直方图上作出最大极限尺寸Amax=60.06 mm及最小极限尺寸Amin=60.01 mm的标志线。

由直方图可以看出：该批工件的尺寸有一分散范围，尺寸偏大、偏小者很少，大多数尺寸居中；尺寸分散范围（6S=53.58 μm）略大于公差值（T=50 μm），说明本工序的加工精度稍显不足；分散中心 与公差带中心Am基本重合，表明机床调整误差（系统常值系统误差）很小。

2）理论分布图——正态分布曲线

大量实践经验表明，在用调整法加工时，当所取工件数量足够多，且无任何优势误差因素的影响，则所得一批工件尺寸的实际分布曲线便非常接近正态分布曲线。

在分析工件的加工误差时，通常用正态分布曲线代替实际分布曲线，可使问题的研究大大简化。

标准正态分布曲线如图6-35所示。

图6-35　标准正态分布曲线图

x—期望值，即工件的平均尺寸（分散中心）；σ—标准差，即一批零件的均方根偏差

（1）正态分布曲线方程。正态分布的概率密度函数为：

当采用该曲线代表零件加工尺寸的实际分布曲线时，上式各参数的意义为：

y——分布曲线的纵坐标，表示工件的分布密度（频率密度）；

x——分布曲线的横坐标，表示工件的尺寸或误差；

——工件的平均尺寸（分散中心），；

σ——一批零件的均方根差，；

n——一批工件的数目（样本数）。

由概率密度函数求概率，随机变量落在区间[x1，x2]内的概率为

见图6-36中阴影部分。

图6-36　由概率密度函数求概率

（2）正态分布曲线的特征参数。正态分布曲线的特征参数有两个，即 和σ。(www.xing528.com)

算术平均值是确定曲线位置的参数，它决定一批工件尺寸分散中心的坐标位置。若x改变时，整个曲线沿x轴平移，但曲线形状不变。使 产生变化的主要原因是常值系统误差的影响，如图6-37所示。

工序标准偏差σ决定了分布曲线的形状和分散范围，如图6-38所示。当算术平均值保持不变时，σ值越小则曲线形状越陡，尺寸分散范围越小，加工精度越高；σ值越大则曲线形状越平坦，尺寸分散范围越大，加工精度越低。σ的大小实际反映了随机性误差的影响程度，随机性误差越大则σ越大。

图6-37　若改变时，整个曲线沿x轴平移

图6-38　工序标准偏差σ决定了分布曲线的形状和分散范围

（3）正态分布曲线的特点。

①正态分布的特殊点，如图6-39所示：处概率密度函数有最大值；x=±σ处为拐点。

②标准正态分布的=0，σ=1，实际生产中为非标准正态分布，通过令z=（x-）/σ，可转换为标准正态分布。

③曲线关于x= 直线对称，如图6-40所示。

图6-39　正态分布曲线的特殊点

图6-40　正态分布曲线关于x直线对称

④±3σ原则。分布曲线与横坐标所围成的面积包活了全部零件数（即100%），故其面积等于1；其中在 ±3σ范围内的面积占了99.73%，即99.73%的工件尺寸落在±3σ范围内，仅有0.27%的工件在范围之外（可忽略不计）。因此，一般取正态分布曲线的分布范围为±3σ，这就是所谓的±3σ原则。

（4）不产生废品的条件。±3σ的概念在研究加工误差时应用很广，是个重要的概念。6σ的大小代表了某种加工方法在一定条件下（如毛坯余量、切削用量，正常的机床、夹具、刀具等）所能达到的加工精度。所以，在一般情况下，应使所选择的加工方法的标准差σ与公差带宽度T之间具有下列关系

6σ≤T

正态分布总体的μ和σ通常是不知道的，但可以通过它的样本平均值和样本标准差S来估计。这样，成批加工一批工件，抽检其中的一部分，即可判断整批工件的加工精度。

3）分布图分析法的应用

（1）确定给定加工方法的精度。对于给定的加工方法，服从正态分布，其分散范围为±3σ（6σ）；则6σ即为该加工方法的加工精度。

（2）判断加工误差的性质。如果实际分布曲线基本符合正态分布，则说明加工过程中无变值系统误差（或影响很小）；若公差带中心与尺寸分布中心重合，则加工过程中常值系统误差为零；否则存在常值系统误差，其大小为。

若实际分布曲线不服从正态分布，可根据直方图分析判断变值系统误差的类型，分析产生误差的原因并采取有效措施加以抑制和消除。

（3）判断工序能力及其等级。工序能力是指某工序能否稳定地加工出合格产品的能力。

把工件尺寸公差T与分散范围6σ的比值称为该工序的工序能力系数CP，用以判断生产能力。CP按下式计算

CP=T/(6σ)

根据工序能力系数CP的大小，工序共分为五个等级，如表6-5所示。

表6-5　工序能力等级

工序能力系数CP＞1时，公差带T大于尺寸分散范围6σ，具备了工序不产生废品的必要条件，但不是充分条件。

要不出废品，还必须保证调整的正确性，即与AM要重合。只有当CP大于1，同时，才能确保不出废品。

当CP＜1时，尺寸分散范围6σ超出公差带T，此时不论如何调整，必将产生部分废品。

当CP=1，公差带T与尺寸分散范围6σ相等，在各种常值系统误差的影响下，该工序也将产生部分废品。

（4）估算工序加工的合格率及废品率。由分布函数的定义可知，正态分布函数是正态分布概率密度函数的积分，即

φ（x）是正态分布曲线上下积分限间包含的面积，它表征了随机变量x落在区间（-∞，x）上的概率。令，则

考虑到φ（z）为图6-41中阴影线部分的面积。不同z值的φ（z），可由概率密度积分表（表6-6）查出。

图6-41　φ（z）为阴影线部分的面积

表6-6　概率密度积分表

分布曲线与x轴所包围的面积代表了一批零件的总数。如果尺寸分散范围超出零件的公差带，则肯定有废品产生，废品率的计算如图6-42所示的阴影部分。

若尺寸落在Amin、Amax范围内，则工件合格的概率即空白部分的面积就是加工工件的合格率。

图6-42　废品率的计算

【实例6-2】在磨床上加工销轴，要求外径，抽样后测得x=11.974 mm，σ=0.005 mm，其尺寸分布符合正态分布，试分析该工序的加工质量。

解：该工序尺寸分布如图6-43所示。

图6-43　磨削轴的工序尺寸分布

工艺能力系数Cp＜1，说明该工序工艺能力不足，因此出现不合格品是不可避免的。工件最小尺寸

故不会产生不可修复的废品。

工件最大尺寸故要产生可修复的废品。

废品率

查表，z=2时，φ（z）=0.477 2。故Q=0.5-φ（z）=0.5-0.477 2=0.5-0.477 5=0.022 8=2.28%。

如果重新调整机床，使分散中心 和AM重合，则可减少废品率。

4）非正态分布

工件尺寸的实际分布有时并不接近于正态分布，如将两次调整加工或两台机床加上的工件混在一起，尽管每次调整加工的工件都接近正态分布，但由于在常值系统误差不同，叠加在一起就得到双峰曲线，如图6-44（a）所示。

当加工中刀具或砂轮的尺寸磨损较长而没有补偿时，变值系统误差占主要地位，工件的实际尺寸分布如图6-44（b）所示。尽管在加工的每一瞬时，工件的尺寸呈正态分布，但随着刀具或砂轮的磨损，其分散中心是逐渐移动的，因此分布曲线呈平顶状。

再如，用试切法加工轴颈或孔时，由于主观上不愿意产生不可修复的废品，加工轴颈时宁大勿小，加工孔时宁小勿大，使分布曲线呈不对称状态，如图6-44（c）所示。当用调整法加工时，若工艺系统存在明显的热变形，加工结果也常常呈现偏态分布，如刀具热变形严重，加工轴时曲线凸峰偏向右，加工孔时曲线凸峰偏向左。

对于端面圆跳动和径向圆跳动一类的误差，一般不考虑正负号，所以接近0的误差值较多，远离零的误差值较少，其分布（称为瑞利分布）也是不对称的，如图6-44（d）所示。

图6-44　非正式分布

（a）双峰曲线；（b）平顶分布；（c）不对称分布；（d）瑞利分布

5）分布图分析法的缺点

（1）分布图分析法不能反映误差的变化趋势。

（2）加工中，由于随机性误差和系统性误差同时存在，在没有考虑到工件加工先后顺序的情况下，很难把随机性误差和变值系统性误差区分开来。

（3）由于在一批工件加工结束后，才能得出尺寸分布情况，因而不能在加工过程中起到及时控制质量的作用。