解决分布参数模型的方法

偏微分方程组的求解要比常微分方程求解困难很多。目前常用的方法是差分法、近似解析法和线上求解法等。

1.差分法

DSG槽式集热器的分布参数动态模型方程的求解属于一阶线性变系数双曲型偏微分方程的初值问题。双曲型偏微分方程数值解法可用差分法。差分法是将微分方程在时间和空间上离散成为某种形式的差分格式，将微分方程转化为一组代数方程，然后利用已经给出的初值条件和边界条件逐排求解，将系统中任意时刻、任意空间位置上的值全部计算出来。

应用差分法求解，要注意时间步长和空间步长的选择。隐式差分格式是恒稳的。但显式差分格式，时间步长和空间步长之间要满足一定的比例关系才能得到稳定解。一般来说，时间步长和空间步长取得比较小，得到的解精度会比较高，但这样也会使迭代时间增长，计算工作量会大大增加。

迎风差分格式是差分格式中比较常用的一种。其基本思想是，将微分方程中关于空间的导数用偏在特征线方向一侧的差商来代替。迎风格式根据流场的特征速度方向来确定差分取向，在物理上符合扰动波传播规律，因此在工程计算中应用得比较多。

2.近似解析法

近似解析法是将动态模型方程在时间及空间坐标上离散化为许多微元，在一个二元的微小区间内假设各项系数为常数，将偏微分方程组做一定的简化，然后经过拉普拉斯变换和拉普拉斯反变换得到热力参数的解析解。

近似解析法由于已经得到了工质参数的解，因此其稳定性较好。根据求解时的假定，近似解析解适应于二元的微小区间，对于整个时间和空间范围内，其中的各系数均要变化，因此计算比较复杂，适应于求解稳定性差的微分方程。(www.xing528.com)

3.线上求解法

线上求解法也称连续时间-离散空间法，是一种适合于绝大多数分布参数系统动态数值仿真的数值方法。它将偏微分方程中的空间变量进行离散化，而时间变量仍保持连续，从而将原来的偏微分方程组转化为一组常微分方程，可以用求解常微分方程的数值解法进行求解。

线上求解法主要由以下两步完成：

（1）空间离散化，利用有限差分、有限元或者有限体积法对空间导数进行近似。

（2）对空间上离散、时间上连续的半离散化方程进行时间积分。

与差分法相比，线上求解法具有较高的准确性和较好的稳定性。