有限元计算的数学模型和观测值方程

5.1.1.1　有限元数值计算的数学模型和等效节点释放力［70］

位移监测和应力监测是监测洞室开挖时引起的位移场和应力场，亦即监测洞室开挖时的扰动位移场和扰动应力场。洞室开挖时的扰动位移场和扰动应力场可由两种数学模型进行模拟计算：一是通过开挖边界加等效节点释放力的计算直接获得；二是通过在计算域外边界加初始应力场，由围岩二次应力场的计算间接获得。等效节点释放力的计算是模拟在开挖过程中洞室边界的应力被“解除”的力学过程，这种计算模型能模拟岩石工程的施工，比较真实地反映因开挖引起的各种变化。

有限元法的计算是在含有工程地质条件的计算域中划分网格和单元进行的，洞室边界周围网格要加密。在拟开挖的洞室内部，等效节点释放力方法的计算要划分单元，而围岩二次应力场方法的计算无需划分单元，形成空洞。两者的计算都要在计算域的外边界加初始应力场或加单元自重的应力条件进行，围岩二次应力场方法的计算到这一步就可完成，然后再计算扰动位移场和扰动应力场；而等效节点释放力方法的计算还要根据拟开挖边界两侧的单元应力，用插值法计算各开挖边界节点力，反转方向加载，即得到开挖边界的等效节点释放力，然后把外边界固定，在等效节点释放力作用下进行扰动位移场和扰动应力场的计算。

一般岩体初始应力场为非均匀应力场，则等效节点释放力根据拟定开挖边界的应力状态求得。如图5-1所示，边界上第j节点的等效节点释放力为［70］。

图5-1　开挖边界两侧单元和边界节点

其中：

σx，j，σx，j-1，σx，j+1……为边界上第j节点和相邻节点处的应力分量。边界点以逆时针向顺序编号。

通常岩体初始应力场设定为均匀应力场，则等效节点释放力

式（5-1）变成

5.1.1.2　观测值方程的节点位移与应力的叠加形式

洞室开挖后形成的围岩应力场为二次应力场，是初始应力场与开挖扰动应力场的叠加。因此应力监测观测到的扰动应力是围岩二次应力场与初始应力场之差，而位移监测观测到的扰动位移仍是二次应力场产生的位移场。这是因为初始应力场在洞室开挖前已经存在，而相对应的由它形成的位移场早已经在地层形成后完成。因此，采用等效节点释放力计算方法和采用围岩二次应力场计算方法，所建立的位移反分析观测值方程是相同的，而所建立的应力反分析观测值方程就大不相同。(www.xing528.com)

建立位移反分析和应力反分析的观测值方程时，对所研究的节点位移和节点应力采用各应力分量乘以各自单位分量所产生的位移和应力的叠加形式。设在无穷远处单位应力分量为=1，==0；=1，==0和=1，==0。

若岩体初始应力场为均匀应力场情况，则单位应力形成的在开挖边界上等效节点释放力根据式（5-3）和式（5-2）得到

若岩体初始应力场为非均匀应力场情况，则首先需要计算开挖前在外边界分别作用单位应力分量时，拟开挖边界上各节点的应力分量，然后按式（5-1）再反向加载于各开挖边界节点上。

1）采用等效节点释放力的计算方法

单位应力分量施加在外边界上所形成的在开挖边界上等效节点释放力作用下所产生的在测点处位移分量和应力分量分别记为。位移监测的观测值和应力监测的观测值分别记为，和。

位移监测的观测值方程为

应力监测的观测值方程为

2）采用围岩二次应力场的计算方法

单位应力分量施加在外边界上所形成的在测点处围岩二次应力场记为。因为采用围岩二次应力场的计算方法，洞室开挖的扰动应力场是围岩二次应力场与岩体初始应力场相减，所以单位应力分量施加在外边界上所产生的扰动应力分量为。应力监测的观测值也包含了围岩二次应力场与岩体初始应力场相减，为了与采用等效节点释放力的计算方法相区别，记为。

应力监测的观测值方程为

采用围岩二次应力场的计算方法所产生的位移场与采用等效节点释放力的计算方法所产生的位移场相同。因此，采用围岩二次应力场的计算方法的位移监测的观测值方程就是式（5-5）。