钻孔孔壁应变测量法中测应力分量的坐标变换

在地应力测量中，钻孔孔壁应变测量法的观测值方程，不像钻孔孔径变形测量法和钻孔孔底应变测量法那样是在大地坐标系下建立的，而是在钻孔坐标系下建立的。因此，所测得的地应力分量也是由钻孔坐标系表达，必须把由钻孔坐标系表达的应力分量转换到由大地坐标系表达，否则没有普遍实用意义。另外，在地应力的主应力量值和方向（倾角和方位角）的计算中，也必须转换到大地坐标系上。

应力分量由钻孔坐标系表达转换到由大地坐标系表达有两个途径可供选择：一是在通常的观测值方程求得由钻孔坐标系表达的应力分量以后，再通过应力分量坐标变换转换到由大地坐标系表达；二是在通常的观测值方程中由钻孔坐标系表达的应力分量置换成由大地坐标系表达的应力分量，直接求得由大地坐标系表达的应力分量。也就是应力分量由钻孔坐标系表达转换到由大地坐标系表达，一是在观测值方程解题后进行；二是在观测值方程解题前进行。本节主要叙述采用第二种途径，题解后求得的应力分量直接由大地坐标系表达，也简要地叙述采用第一种途径，题解后求得的由钻孔坐标系表达的应力分量再转换到由大地坐标系表达。

钻孔孔壁应变测量法的测量钻孔除使用深钻孔水下三向应变计和在有水的垂直钻孔中使用空心包体式三向应变计以外，都要求无水，在施钻时有一定仰角（以便排水），同时应变计的安装也不能保证完全达到设计角度，有一定偏斜。这就必然形成钻孔坐标系的每个坐标轴都处于大地坐标系的空间位置（都有一定的方位和倾角）。根据钻孔孔壁应变测量法地应力测量时的实际应变计安装角和测量钻孔的施钻方向，来建立钻孔坐标系，导出所测定的由钻孔坐标系表达的应力分量与由大地坐标系表达的应力分量的关系式，以便实际应用。

设测量钻孔的倾角为α，以仰角为正，方位角为β，应变计安装角为γ，以水平轴起始逆时针向度量。以此建立钻孔坐标系O-x′y′z′：轴z′为钻孔方向，指向孔口为正，轴x′为应变计安装角方向（与轴z′相垂直的倾斜平面上由其水平线逆时针向到应变计安装角γ的方向），轴y′按右手系定向。同时建立大地坐标系O-xyz：轴x为地下洞室轴向或其他建筑物的主方向，方位角为β0，轴z为铅垂向上方向，轴y按右手系定向。

钻孔孔壁应变测量法的观测值方程，以钻孔坐标系O-x′y′z′建立（应力分量以钻孔坐标系表达），类似式（3-19）为

式中：Ak1～Ak6为应力系数，仍按式（3-20）确定。

式（3-46）中由钻孔坐标系表达的应力分量σx′，σy′…τz′x′需要通过应力分量坐标变换，转换到由大地坐标系表达的应力分量σx，σy…τzx表达。应力分量坐标变换公式类似式（3-22）为［32］

式中：和分别为钻孔坐标系O-x′y′z′各坐标轴相对大地坐标系O-xyz的方向余弦。

由于两种不同坐标系的空间位置定位复杂，各坐标轴相对应的方向余弦很难从立体几何图形中得出，因此采用分部变换运算方法确定。首先引入过渡坐标系O-x1y1z1，由钻孔坐标系O-x′y′z′绕轴z′旋动，使应变计安装角γ调整为零得到，即轴z′与轴z1重合，γ=0，轴x1在水平面上，通过应力分量坐标变换，求得钻孔坐标系表达的应力分量由过渡坐标系表达的应力分量的表达公式。再变换过渡坐标系O-x1y1z1到大地坐标系O-xyz，即坐标系O-x1y1z1绕水平轴x1旋转，使钻孔的倾角α调整为铅垂向，轴y1处于水平面上，轴z1处于铅垂向上（轴z1与轴z重合），然后再绕轴z旋转，使轴x1与大地坐标系轴x重合，通过应力分量坐标变换，求得过渡坐标系表达的应力分量由大地坐标系表达的应力分量σx，σy…τzx的表达公式。经简单代入运算就可得到钻孔坐标系表达的应力分量由大地坐标系表达的应力分量σx，σy…τzx的表达公式。再对应应力分量坐标变换公式，就可得到钻孔坐标系O-x′y′z′各坐标轴相对大地坐标系O-xyz的方向余弦。

钻孔坐标系O-x′y′z′和过渡坐标系O-x1y1z1的关系如图3-6所示，它们之间各坐标轴相对应的方向余弦列于表3-3。根据应力分量坐标转换公式（3-47），得到钻孔坐标系表达的应力分量由过渡坐标系表达的应力分量的表达公式。

图3-6　钻孔坐标系O-x′y′z′与过渡坐标系O-x1y1z1的相对关系

表3-3　钻孔坐标系O-x′y′z′各坐标轴相对过渡坐标系O-x1y1z1的方向余弦

过渡坐标系O-x1y1z1和大地坐标系O-xyz的关系如图3-5所示（图中βi改为β，下标i改为1），它们之间各坐标轴相对应的方向余弦列于表3-4。根据应力分量坐标转换公式（3-47），得到过渡坐标系表达的应力分量σx1，σy1…τz1x1由大地坐标系表达的应力分量σx，σy…τzx的表达公式。

表3-4　过渡坐标系O-x1y1z1各坐标轴相对大地坐标系O-xyz的方向余弦

(www.xing528.com)

把式（3-49）代入式（3-48），经简单运算以后，得到钻孔坐标系表达的应力分量由大地坐标系表达的应力分量σx，σy…τzx的表达公式。

对应应力分量坐标变换公式（3-47），并对照表3-3和表3-4就可得到钻孔坐标系O-x′y′z′各坐标轴相对大地坐标系O-xyz的方向余 弦和，列于表3-5。

表3-5　钻孔坐标系O-x′y′z′各坐标轴相对大地坐标系O-xyz的方向余弦

表3-5所列方向余弦对今后分析计算非常有用，依据它可直接应用应力分量坐标变换公式（3-47）。

由此导出应力分量由大地坐标系O-xyz表达的钻孔孔壁应变测量法的观测值方程（区别于式（3-46））为

式中：

如果应变计安装角γ=0，表3-5就变成表3-4，式（3-47）就变成式（3-49），只不过这时等号左边的过渡坐标系表达的应力分量变成钻孔坐标系表达的应力分量。则式（3-51）变成

如果采用通常的观测值方程求得由钻孔坐标系表达的应力分量以后，再通过应力分量坐标变换转换到由大地坐标系表达的方法，是上述方法的逆向求解，直接可利用应力分量坐标变换公式（3-47）和表3-5钻孔坐标系O-x′y′z′各坐标轴相对大地坐标系O-xyz的方向余弦，作逆向求解的相应规定稍微作些改变，就可求得由大地坐标系表达的应力分量公式。这里不再赘述，仅列出应变计安装角γ=0时，大地坐标系表达的应力分量由已求得的由钻孔坐标系表达的应力分量表达的表达式。

当应变计安装偏差角为零（即γ=0）时，大地坐标系表达的应力分量为

当深钻孔地应力测量时，测量钻孔的方向为铅垂向，钻孔坐标系O-x′y′z′的轴z′为铅垂向上方向，轴x′和轴y′为水平向，即钻孔倾角α=90°，钻孔方位角β可以为任意值。这在实测资料整理时不再适用，需要改用与钻孔在水平面上投影（其方位角为β）相垂直的轴x′方向。设钻孔坐标系O-x′y′z′的轴x′方位角为β′（应变计中第一应变丛的方向，由应变计测量时直接测得），大地坐标系O-xyz的轴x方位角仍为β0，为建筑物轴向或正北向。因为在铅垂向钻孔中，坐标和各测量部位的定向采用地质上的方位定向方法，即以正北向为起始顺时针向度量。因此β=β′+90°，以α=90°和β0-β=β0-β′-90°代入式（3-53），得到实测的由钻孔坐标系表达的应力分量转换到由大地坐标系表达的公式：

上述式（3-54）也可由应力分量坐标转换公式直接获得。大地坐标系O-xyz各坐标轴相对钻孔坐标系O-x′y′z′的方向余弦如表3-6所示。

表3-6　大地坐标系O-xyz各坐标轴相对钻孔坐标系O-x′y′z′的方向余弦