窄缝局部应力解除的应力和位移分析

对于无限域，复变函数φ（ζ）和ψ（ζ）为

式中：φ0（ζ）和ψ0（ζ）为在无限域全纯函数，X和Y为作用在窄缝边界上外力合力分量，，κ为边界上外力序号，n为边界上外力数量，而κ为弹性平面问题系数。

对于单连通的无限域，映射平面ζ上复变函数φ（ζ）和ψ（ζ）根据式（2-52）可表示为

式中：φ0（ζ）和ψ0（ζ）为在边界外包括无穷远点在内的全纯函数；而Γ和Γ′为岩壁上二维应力状态，设σ1和σ2为大、小主应力，以压应力为正，α为σ1与轴x逆时针向夹角，则

式（2-53）代入边界条件式（2-45）和式（2-46）得到

因窄缝边界不受力，f=0。式（2-55）和式（2-56）中等号左边各项柯西积分与式（2-45）和式（2-46）等号左边各项柯西积分相同，只需推求等号右边各项的柯西积分。式（2-55）和式（2-56）中是窄缝边界外全纯函数的边界值，它的柯西积分为，t是窄缝边界内全纯函数ζ的边界值，它的柯西积分为零；是函数的边界值，它可用幂级数形式表示，除第一项为外，其余几项为常数项和t的正幂次项，在窄缝边界外全纯函数只有，它的柯西积分为是函数（为的共轭函数）的边界值，它的柯西积分为。

由此解题得到

也即复变函数φ（ζ）和ψ（ζ）为

复变函数ψ（ζ）表达式（2-60），也可由它的复变函数φ（ζ）表达式直接得到，其表达式为

按式（2-50）计算得到(www.xing528.com)

应力分量按式（2-49）演算得到

位移分量按式（2-51）演算得到，注意到弹性平面应力问题）（μ为岩石泊桑比），位移分量为

窄缝中垂线（θ=90°）上的应力分量和位移分量，代入R=后为

在岩壁待测部位布置相邻的3个以上不同方向的窄缝槽，进行凿槽时的岩体位移（或应变）测量，就可推求得到岩壁上的二维应力状态。

设窄缝槽序号为i（i=1～3），各个槽测点处（窄缝槽中垂线上）的径向位移分量vρi和切向位移分量vθi根据式（2-66）可表示为

其中：

为有利于该方法的实施和应用，洞壁上的窄缝槽采用特殊角布置形式，就可大大简化计算公式。例如3个窄缝槽以垂直向、水平向和45°斜向布置，分别以槽1＃、槽2＃和槽3＃表示，取水平向为轴x，垂直向为轴y，即以水平向槽2＃为基准，所要求的大主应力σ1方向α相对各个槽的作用方向（大主应力σ1与各槽方向的夹角），槽1＃为α-90°，槽2＃为α，槽3＃为α+45°。则3个槽的径向位移分量vρi和切向位移分量vθi根据式（2-67）分别为

首先对径向位移分量vρ表达式（2-69）求解，得到初始计算的岩壁二维应力状态为

由于岩壁上二维应力状态的二个主应力并不是与窄缝槽垂直和平行的，因此不能忽略切向位移分量vθ的存在，实际上实测得到的由凿槽局部应力解除引起的位移值是由径向位移分量和切向位移分量组成的合位移。在具体运算中采用先行对径向位移分量vρ单独计算，然后根据式（2-71）求得的二维应力状态求得切向位移分量vθ后再进行逐步调正和修正，使最后得到的合位移w等于实测位移。