相位高度变换简介

图5.23描述的是经典的条纹投影测量系统模型。模型中各参量的意义如下：

图5.23　经典的条纹投影轮廓术系统模型

Op：投影设备镜头光心，也称为投影中心，O 点是Op 在参考面上的投影。

参考面：即图中的OXY 平面，与投影面平行，Y 轴方向与光栅条纹方向平行，原点O是投影中心Op 在该面上的投影。该面在传统相位法系统里作为系统标定和测量时的基准相位值，因此又称为基准面。

Ωw：参考坐标系OXYZ。以参考面为本坐标系的OXY 平面。

Ωc：摄像机坐标系OcXcYcZc，原点Oc 位于镜头光心，Zc 位于光轴，Xc、Yc 分别平行于相机成像面的横轴、纵轴，OcOp 连线平行于参考面，Oc 在参考面上的投影为Oc′。

d：投影中心Op 与相机光心Oc 之间的距离。

l：Op 到参考面之间的距离。因为OcOp 连线与参考平面平行，因此Oc 到参考面之间的距离也是l。

P：物点，在参考面投影为P′。

根据物点所在相位与坐标间的对应关系和相似三角形原理，可以推导出物点相位，得到物点高度的转换规则。下面给出推导过程。

1.投影装置和参考面的位置关系

投影装置和参考面的位置关系满足投影面与参考面平行，Y 轴方向平行于光栅栅线方向，原点O 是投影中心、Op 在参考面上的投影。因为ΔBPP′～ΔBOpO，则

由于参考面和投影面相互平行，且光栅栅线方向平行于Y 轴，所以参考面上相位分布是X 的函数，即设OXY 面上任一点（X，Y）的相位是θ，则有(www.xing528.com)

式中，θ0表示原点O 的相位值；为了不与物点P 混淆，此处λ0代表光栅栅距，即投影到参考面上的光栅条纹像的周期，也是沿X 轴相位变化2π 对应的距离。

2.相机和参考面构成的三角关系

相机和参考面位置关系满足：①相机的Y 轴与参考面的Y 轴平行，又因为参考面的Y 轴平行于光栅条纹方向，得出相机的Y 轴平行于光栅条纹方向。该条件下，物点P 在OXZ 平面上的投影都始终满足图中的三角关系。②相机光心与投影中心的连线与参考面平行，即Oc 与Op 距离参考面高度相同。相机光轴与投影仪光轴相交于参考面原点O，有ΔAPP′～ΔAOcOc′，则

联立式（5.37）和式（5.39）得

式中，l 和d 为系统参量。由式（5.40）可得

式中，λ0为光栅栅距，通过系统校准获得；θA、θB分别为A、B 点的相位值。将式（5.41）代入式（5.40）整理得

式（5.42）是基于三角法的经典的条纹投影系统测量原理的核心公式，即相位-高度映射关系。相位差分布Δφ（x，y）=φ（x，y）-φ0（x，y）与待测物体面形高度分布h（x，y）之间的关系为

式中，L 为像面和参考平面之间的距离；D 为投影装置和相机的出瞳中心之间的距离；f0为投影光栅在参考平面上的投影条纹的空间频率。在得到相位差Δφ（x，y）后，就可以计算初待测物体面形分布h（x，y）。