现代光电测试：G-S算法优化

在光波的复振幅分布中，振幅和相位之间的关系远没有实部和虚部之间的关系明显，实部和虚部之间满足Hilbert 变换。因此，只有利用两复振幅之间的傅里叶变换关系来求解相位。G-S 算法正是迭代使用了傅里叶变换，其算法框图如图4.19所示。

算法中，U0（x0）=P（x0）·ejφ（x0）为瞳面复振幅（使用一维形式以简化说明），其中振幅P（x0）已知，相位φ（x0）待求；U（x）=A（x）·ejβ（x）为焦面复振幅，其中振幅A（x）已测；k 为迭代序号。

迭代从图4.19上方中央框出发，当k=1 时，φ（1）（x）使用假设的初相位。图中描述了第k 次迭代过程。的快速傅里叶变换（FFT）的振幅B（k）被与A 比较，若两者之差小于一预定阈值，则表明（x0）产生的像面光强与实际测量分布A2（x）一致，φ（k）（x0）即为所求的解φ∗；否则用A 置换B（k）后作快速傅里叶逆变换（IFFT）得（x0），令k=k+1，接着用P 置换IFFT 得到的振幅Q（k），进行下一次迭代，直至B≈A。

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图4.19　G-S 算法流程图

关于G-S 算法的收敛性，Gerchberg 和Saxton 从矢量（幅角代表相位，幅值代表振幅）角度进行了分析，运用傅里叶变换Parseval 定理得出结论：

但振幅的收敛并不能证明相位的收敛以及收敛于真值，或者说不能证明G-S 算法的解是否唯一。由于早期的研究目的只是光强收敛，Gerchberg 和Saxton 仅指出解的唯一性问题，却未提出解决方法。