区域法波前重构优化方案

1.估计方程

波前上任意两点间的相位存在下面的关系：

式中，Δ为哈密特算子；c 为积分路径，此积分与路径无关。但是，当存在测量噪声的情况下，上一积分是与路径有关的，这就需要寻找更合适的关系式。

设测量得到的波前梯度是g（x，y），其中包括波前真正的梯度Δφ 和噪n（x，y），即

在最小二乘意义上，有

这是一个变分问题，它满足欧拉方程

式中，为在最小二乘意义上的最优估计。上式是一椭圆微分方程。在波前相位估计的情况下梯度是已知的，所以变为纽曼（Neumann）边界值问题。在波前估计问题上，存在着唯一解。

最小二乘解的误差是

式（4.32）可以离散化，可以用N 个点取代连续面问题。这样，一个完整的波前被细分成（N-1）2 个子孔径。利用子孔径边界上测量的波前梯度或相位差数据重构整个波前相位，这一方法称为区域法估计波前相位。

根据测量参数的性质（梯度或相位差）和要求重构波前相位的位置，以及重构的算法不同，可以有许多具体的重构波前的方法。

2.方程的最小二乘解

一个线性方程组

若A 是方阵且秩是完备的，则

若A 是M×N 矩阵，且M>N 和列秩完备，则有最小二乘解为

式中，‖·‖ 代表欧氏范数。

若A 是M×N 矩阵（M<N），且行秩完备，则有最小范数解为

若

式中，A+为A 的广义逆；I 为单位矩阵；Y 为任意矢量，则有最小二乘解为

若

则有最小二乘且最小范数解为

且

3.波面倾斜与离焦量的分离

哈特曼检测光路中，探测面位于离焦位置，而哈特曼光阑、被测镜与探测面之间的相对位置难以精确标定。哈特曼光阑的垂轴位置误差会引起被测波前的整体倾斜，而探测面轴向位置的误差会引起被测波前的整体离焦，因此分离并消除波面倾斜与离焦对正确估计波前误差有重要意义，可将波前展开为(www.xing528.com)

式中，第一项代表波面倾斜，第二项代表离焦，第三项是高阶项之和。令

即可由下式求得波面倾斜及离焦的系数：

需要指出的是，当采样点数N 较小时，孔径的边界效应是重要的。

4.梯形积分法

假设畸变波前W（x，y）连续，并且在各采样区间内均为二次函数时，用梯形积分法计算波前分布可得到畸变波前分布的精确解，如图4.15所示。此时，畸变波前W（x，y）可由光斑偏移量TAx（x，y）、TAy（x，y）积分得到：

梯形积分法中，两采样点之间的斜率按线性插值计算，恢复出的畸变波前 [图4.15（b）] 即为斜率差曲线[图4.15（a）] 与x 轴之间包围的面积。梯形积分法恢复的波前在采样点处连续，两采样点之间为二次曲线，但恢复出的波前在采样点的斜率与采样点斜率的测量值可能不同。

图4.15　由光斑偏移量积分计算畸变波前的梯形积分法

（a）光斑偏移量；（b）畸变波前

由于仅在矩形阵列的点上进行测量，通过对式（4.47）、式（4.48）求一阶梯形积分就可以得出经典的哈特曼测试中的波前形状，沿x 轴的公式为

沿y 轴的公式为

沿对角线为

式中，d 为哈特曼光阑上连续两个孔之间的距离。表达式用于计算哈特曼光阑上同一行的孔间的连续光斑，开始于W（0，m），W（n，0），TA（0，m），而TA（n，0）等于零。然后扫描新的一行，直到整个图案从几个方向被覆盖。以第一个点作为参考，这些表达式给出了任意点位（n，m）的表面偏差。

由于数值积分方法会累积固有误差，必须采取一些减少误差的方法。最好通过使用仅在一个点处相交的积分路径来完成此操作，这意味着可以通过独立方式获得任何位置的表面高度。另外，也可以沿着任何光路的某一方向以及反方向求积分，然后对所得的结果取平均值。

积分法中使用的方案遵循图4.16所示原理。首先，从x 轴和y 轴开始求和，把从通过所求点的其他坐标积分求得的值作为每次积分的起始值。因为通过x 和y 积分得到的面形偏差值在每一点上是相同的，所以用两次积分的平均值作为每一点最后结果。然后再进行反向光程求和，并与其对应的积分值求平均。

图4.16　哈特曼屏上的孔（沿垂直线、水平线、±45°线的不同积分路径）

为了获得更高精度，下一步可以将坐标系绕原点旋转45°，再用不同的孔间距和不同的积分路径重复整个积分过程。由于这些积分结果应该与第一种方案所获得的积分结果相同，所以每一点都取两次积分的平均值。这就意味着至少有4 种方法获取每个表面的偏差值，且大多数是以8 种方式获得的。这样的重复过程不但减小了误差的系统积累，而且还减小引入的伪误差。

5.索斯韦尔积分算法

索斯韦尔（Southwell）积分算法是一种带状计算方法。当沿着两条不同的光路从一点到另一点进行线性积分时，两个结果可能由于以下几种因素的原因而存在微小的差别，如光斑位置中的测量误差、局部波前的曲率半径偏差和数值误差。这种方法的理念就是：在计算所有光斑的波前变形的过程中，要将某些纵向和横向相邻光斑的波前变形考虑在内。

索斯韦尔提出了一种迭代求解法，该解法中任意点（n，m）的波前都是采用4 个相邻的点求积分得来的，一个位于计算点的上面，一个在下面，一个在左边，一个在右边，如图4.17所示。因此，最终值Wn，m是4 个值的平均值。为了简单标记，将其记为

图4.17　索斯韦尔积分法中通过相邻点计算点（n，m）的波前

图4.17中4 个相邻点可以表示为

因此，4 次测量的加权平均值为

式中，σn，m为所有光斑的权值因子。

式（4.54）可以通过方阵计算整个哈特曼光阑中所有点的数值。所有位于哈特曼光阑以外的光斑的权应权值因子σ 应该为零。覆盖所有光斑之后，进行第二次迭代，直到所完成的迭代次数等于光斑总数为止。