多普勒频移原理简介

1.普适多普勒原理及表达式

为得到普适的多普勒频移公式，可采用狭义相对论原理进行分析。

根据狭义相对论原理，一切物理定律（除引力外的力学定律、电磁学定律以及其他相互作用的动力学定律）在所有惯性系中均有效，不同惯性系时空坐标之间符合洛伦兹变换关系。

洛伦兹变换可分为特殊洛伦兹变换和普通洛伦兹变换。

如图2.7所示，惯性系S（O，x，y，z）相对于惯性系S′（O′，x′，y′，z′）以匀速υ0（υx，0，0）运动，两个惯性坐标系S 和S′之间的变换关系为

图2.7　特殊洛伦兹变换

式中，。由于两个惯性系相对运动的方向沿x′轴，我们称之为特殊的洛伦兹变换。

由特殊洛仑兹变换公式可以得出结论：在相对以匀速运动的惯性系坐标变换中，垂直于υ0 方向上的长度不变，平行于υ0 上的长度乘上变换因子γ，时间的变换与相对运动的方向无关，因此，如图2.8所示，当惯性系S（O，x，y，z）相对于惯性系S′（O′，x′，y′，z′）以匀速υ0（υ′x，υ′y，υ′z）运动时（运动是相对的，如果以惯性系S（O，x，y，z）作为参考，则惯性系S′相对于惯性系S 的速度υ0（υ′x，υ′y，υ′z）方向相反），可将任意一点的位矢r分解成平行于υ0 的分量以及垂直于υ0 的分量，即

图2.8　普遍洛伦兹变换

其中，

根据上述结论可得，S（O，x，y，z）中位矢r 及时间t 可以表示为

根据式（2.34）及式（2.35）可得

将式（2.33）代入式（2.37）可得

式（2.36）与式（2.38）构成普遍的洛伦兹变换关系。

波的表达式可写作

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式中，A0 为波的振幅；k 为波矢且为角频率，ν 为频率；φ0 为初始相位。

设点波源位于惯性系S′中的原点O′，且连续不间断地发射式（2.39）所描述的波，O′点的初始相位为0，即φ0=0。P 为空间中任意一点，在任意惯性系中观测波源，P 点的相位保持不变，此为位相不变定理。因此在惯性系S′中t′时刻观察P 点相位应该等于在惯性系S 中t 时刻观察P 点的相位，即

式中，n′与n 分别为k′与k 的单位矢量；υ′与υ 分别为波在惯性系S′和惯性系S 中的传播速度。

式（2.41）表明，υ 是时间t′无关项。

式（2.40）可以进一步写作t′相关项和t′无关项，即

式（2.42）给出在惯性系S′中观察到的波的频率与惯性系S 中观察到的波频率之间的关系，其中υ0 为波源所在惯性系相对于观察者所在惯性系的速度。

2.具体场景多普勒频移表达式

式（2.42）为多普勒频移的普适公式，波源运动以及观察者运动、横向多普勒效应以及纵向多普勒效应、电磁波以及机械波等都可以由表达式（2.42）描述。

1）波源运动与观察者运动的多普勒频移

由于式（2.42）中υ0 为观察者所在惯性系S 相对于波源所在惯性系S′的运动速度，所以无论是波源运动还是观察者运动，式（2.42）都是成立的。

2）横向多普勒频移与纵向多普勒频移

式（2.42）中n·υ0 表示从波源指向观测点的单位矢量n 与相对运动速度υ0 的标量积（点积）因此n 与υ0 之间的夹角θ 已经考虑在内，所以任意角度的多普勒频移效应都可以由式（2.42）来计算。通常所说的横向多普勒频移即相对运动的速度方向与观察者相对于波源的方向正交，此时因此由此可知横向多普勒频移公式为

式中，

在此推导过程中并未假设波为电磁波或机械波，因此式（2.42）所描述的横向多普勒频移效应适用于所有类型的波。

通常所说的纵向多普勒频移是指相对运动的速度和观察者相对于波源的速度同向或反向，此时θ=0 或π，因此或由此可知纵向多普勒频移公式为

横向和纵向多普勒频移只是两种特殊的情况，对于任意情况下的多普勒频移，其频移公式都符合式（2.42），即

3）机械波与电磁波的多普勒频移

机械波与电磁波的重要区别是：机械波的传播需要介质，而电磁波则不需要；此外，机械波的传输速度是与参考系的选择相关的（上述分析未考虑机械波传播中参考系相对运动速度大于波传播速度的情形），而电磁波的速度在任何惯性参考系中都为光速（此为狭义相对论光速不变原理）。这里我们只关注光的多普勒频移，因此式（2.42）中波的传播速度υ可由c 替换，从而得到光（电磁波）的多普勒频移公式