层次分析法如何运用

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP法）是美国运筹学家T.L.Sattg等人创立的一种定性分析和定量分析有机结合的系统分析、决策新方法。它是一种以递阶层次结构模型求得每一个具体目标的权重，进而解决多目标决策的非数学模型优化方法。该方法把一个复杂的问题表示成递阶层次结构模型，利用预选方案的优劣程度进行判断排序，从而得出最优方案，为设计提供依据。

运用AHP方法，大体可分为以下4个步骤：①建立层次结构模型，将有关因素按不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层诸因素从属于上一层因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。②分析系统中各因素间的关系，对同一层次各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较的判断矩阵；③由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行判断矩阵的一致性检验；④计算各层次对于系统的总排序权重，并进行排序。最后，得到各方案对于总目标的总排序。

（1）建立层次结构模型。根据问题性质和决策目标把问题中包含的因素划分为不同的层次，形成一个多层次的分析结构模型。首先，把复杂的问题分解为各种指标，再把这些指标按照不同性质分成若干组，以形成不同的层次。同一层次上的指标作为准则，对下一层次的某些指标起支配作用，同时它又受上一个指标的支配。处于最上层的指标一般只有一个，称为目标层，一般就是分析问题的预定目标或理想结果。中间层次一般是准则层或子准则层。

（2）构造判断矩阵。根据表4.4所示1～9标度法，逐项就任意2个评价指标进行比较，确定它们的相对重要性程度赋以相应的分值，进而构造判断矩阵。

表4.4　比较尺度表（1～9尺度的含义）

（3）各因素权重求解。对判断矩阵求解各因素权重，其常用方法有规范列平均法、方根法、幂乘法等。

规范列平均法的步骤如下：

第一步，先求出两两比较矩阵的每一元素每一列的总和。

第二步，把两两比较矩阵的每一个元素除以其相对应列的总和，所得的商称为标准两两比较矩阵。

第三步，计算标准两两比较矩阵的每一行的平均值，这些平均值就是各方案在某一评价指标方面（比较因素）的权重，也即方案优化评价中的特征向量。

第四步，求得其他评价指标在方案优化评价中的特征向量。

第五步，把所有评价指标的特征向量列成矩阵表。

第六步，取得每个评价指标在总目标中的相对权重，即要取得每个评价指标的相对权重。即评价指标的特征向量。

第七步，通过两两比较矩阵，同样求出其评价指标的特征向量值。

（4）一致性检验。判断矩阵A=（aij）n×n，其具有如下性质：

从理论上分析得到：如果A是完全一致的成对比较矩阵，则其应该具有传递性质：

即判断矩阵具有完全一致性。但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的，因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。对成对比较矩阵的一致性要求，转化为要求其绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。

检验成对比较矩阵的一致性检验方法如下：

计算衡量一个成对比较矩阵A（n＞1阶方阵）不一致程度的指标CI：

当λmax=n，CI=0时，为完全一致情况；CI值越大，判断矩阵的完全一致性越差。在计算判断矩阵时，为了度量不同阶判断矩阵是否完全一致性，引入判断矩阵的平均随机一致性指标RI。RI是这样得到的：对于固定的n，随机构造成对比较矩阵A，其中aij是从1，2，…，9，1/2，1/3，…，1/9中随机抽取的。这样的A是不一致的，取充分大的子样得到A的最大特征值的平均值。从有关资料查出检验成对比较矩阵A一致性的标准RI，它为同阶矩阵的一致性指标的随机均值，其RI值见表4.5。

表4.5　平均随机一致性指标RI值

注　n为矩阵阶数，它只与矩阵阶数n有关。

随机一致性比率CR为一致性指标CI与同阶平均随机一致性指标RI的比值，即CR=CI/RI。当CR＜0.10时，认为判断矩阵通过了一致性检验，具有满意的一致性，否则应对判断矩阵进行调整，使其最终满足要求。

检验一致性的步骤如下：

第一步，由被检验的两两比较矩阵乘以其特征向量，所得的向量赋权和向量。(www.xing528.com)

第二步，每个赋权和向量的分量分别除以对应的特征向量的分量，即第i个赋权和向量的分量除以第i个特征向量的分量。

第三步，计算出每个结果中的平均值，记为λmax。

第四步，计算一致性指标CI。

第五步，计算一致性率CR，其中RI从表4.5中选取。

第六步，根据是否满足CR≤0.10来判断比较矩阵的一致性。

第七步，同样，可以通过计算其他评价指标一致性率CR，来判断其一致性，即相应的特征向量有效。

（5）利用特征向量求出各方案的优劣次序。

根据求出的评价指标的特征向量，以及评价指标下每个方案的特征向量求出各方案的总得分。通过比较各方案的得分多少，找到最优方案及不同方案的优劣次序。

（6）特征向量计算方法。在AHP方法中，用定义计算两两比较矩阵的特征值和特征向量相当困难，特别是阶数较高时。

两两比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的结果，对它的精确计算也没有太大的必要。故用近似计算即可满足要求，主要有和法、根法、幂法等。和法（规范列平均法）是计算判断矩阵A各列各个元素ai的和；将ai的各列元素的和进行归一化，该向量即为所求权重向量。根法（几何平均法）是计算判断矩阵A各行各个元素ai的乘积；计算ai的n次方根；对向量进行归一化处理，该向量即为所求权重向量。

1）定理：对于正矩阵A（A的所有元素为正）

A.A的最大特征根为正单根λ；

B.λ对应正特征向量w（w的所有分量为正）；

C.w=lim（Ak e/eT Ak e），其中e=（1，1，…，1）T，w是对应λ的归一化特征向量。

2）和法的计算步骤如下：

A.将A的每一列向量归一化得ij=aij/∑aij；

B.对ij按行求和得i=∑ij；

C.归一化=（1，2，…，n）T；

wi=i/∑iw=（w1，w2，…，wn）T；

D.计算Aw；

E.计算λ=1/n∑（Aw）i/wi，最大特征值的近似值。

3）根法的计算步骤如下：

A.将A的每一列向量归一化得ij=aij/∑aij；

B.对ij按行求积得i=（∏ij）1/n；

C.归一化=（1，2，…，n）T

wi=i/∑iw=（w1，w2，…，wn）T；

D.计算Aw；

E.计算λ=1/n∑（Aw）i/wi，最大特征值的近似值。

以上方法中和法最为简便。