自由流场中的风轮原理及应用

风力机的第一个气动理论是由德国的Betz于1926年建立的。

Betz假定风轮是理想的，即它没有轮毂，具有无限多的叶片，气流通过风轮时没有阻力；此外，假定气流经过整个风轮扫掠面时是均匀的；并且，气流通过风轮前后的速度为轴向方向。

现研究一理想风轮在流动的大气中的情况（见图2-1），并规定：

v₁──距离风力机一定距离的上游风速；

v──通过风轮时的实际风速；

v₂──离风轮远处的下游风速。

设通过风轮的气流其上游截面为S₁，下游截面为S₂。由于风轮的机械能量仅由空气的动能降低所致，因而v₂必然低于v₁，所以通过风轮的气流截面积从上游至下游是增加的，即S₂大于S₁。

图2-1 风轮的气流图

如果假定空气是不可压缩的，由连续条件可得

S₁v₁=Sv=S₂v₂

风作用在风轮上的力可由Euler理论写出：

F=ρSv（v₁-v₂） （2-3）

故风轮吸收的功率为

P=Fv=ρSv²（v₁-v₂） （2-4）

此功率是由动能转换而来的。从上游至下游动能的变化为

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令式（2-4）与式（2-5）相等，得到：

则作用在风轮上的力和提供的功率可写成：

对于给定的上游速度v₁，可写出以v₂为函数的功率变化关系，将式（2-8）微分得

式有两个解：①v₂=-v₁，没有物理意义；②v₂=v₁/3，对应于最大功率。

以代入P的表达式，得到最大功率为

将上式除以气流通过扫掠面S时风所具有的动能，可推得风力机的理论最大效率（或称理论风能利用系数）：

式（2-10）即为有名的贝兹（Betz）理论的极限值。它说明，风力机从自然风中所能索取的能量是有限的，其功率损失部分可以解释为留在尾流中的旋转动能。

能量的转换将导致功率的下降，它随所采用的风力机和发电机的型式而异，因此风力机的实际风能利用系数C_P＜0.593。风力机实际能得到的有用功率输出是

对于每平方米扫风面积则有