二维多重分形电磁散射模型及特征反演分析

9.1.1节从2D-FBM出发研究了SAR场景模型、SAR电磁模型和解析成像模型，并证明了可通过SAR图像反演场景蕴含的分形特征参数。然而，实际的SAR场景通常具有多重分形特征，单一的分形维数难以描述场景具有的丰富的分形细节。本节将给出基于2D-mFBM多重分形模型的场景建模和电磁散射模型，进而提出基于多重分形的SAR解析成像模型，并通过软件仿真进行多重分形特征验证，具体流程如图9.3所示。

1.2D多重分形场景建模

首先利用二维多分形布朗运动（2D-mFBM）模型对地形进行建模，假定z（x，y）为满足2D-m FBM的随机过程，则其增量过程的概率密度函数满足

图9.3　基于2D-mFBM的SAR图像建模及特征分析示意图

注意到，上式与2D-FBM模型增量过程的概率密度函数的区别在于H（x，y）的不同。这也就意味着，对于地形的多重分形模型来说，H（x，y）是一个时变的函数，是随SAR图像元素位置不同而不断变化的量。对于真实地形样貌而言，2DmFBM模型具有更好的特征表达和建模能力。

需要指出，二维的随机多重分形模型很多，如第7章介绍的2D-RWS模型、2DCantor集、2D随机乘法模型等，这里仅以2D-MFBM模型为例进行分析。

2.多重分形电磁散射建模

式中，σ0（x，y）又称为后向散射系数。由于2D-m FBM可视为多个局部区域的单重分形特征的集合，因此这里以H（x，y）替代单一分维数H。式（9.16）中κ为电磁波数，S0为某点分形信号功率值大小，相关定义为

βmn为极化参数，其值与分形表面相对介电常数εr和局部入射角θ有关，根据电磁波的极化特性，考虑两种单极化的情况，分别可按下式计算［17］：

式中，θ（x，y）为局部入射角，可以直接从2D-mFBM模型z（x，y）导出：

式中，θ0为电磁波入射方向，z（x，y）代表地形表面高度，p（x，y）和q（x，y）分别为z（x，y）在方位向和距离向的偏微分，计算如下：

3.基于多重分形的SAR成像解析模型

引入基于2D-mFBM的场景几何模型和电磁散射模型，给出了基于2D-mFBM的SAR直接成像模型。考虑线性SAR回波模型(www.xing528.com)

式中，x，r与x′，r′含义一样，分别表示方位向和斜向距离；γ（x，r）为反射系数，且其中包含相位因子exp［-j（4π／λ）r］；λ是电磁波长度；Δx和Δr分别表示SAR在方位向和斜距的几何分辨率。其中，两个sin c（·）函数分别表示在距离和斜距方向上的时域点目标冲击响应函数，反射系数γ可定义为归一化RCS，如式（9.16）所示，可得

由此可得到基于2D-mFBM的SAR回波的解析模型，从而通过仿真分析给定2D-m FBM几何模型和电磁散射参数的SAR图像，上述SAR直接成像模型将广义尺度上的几何形态特征和表面介电特性与相关SAR图像（输出）联系起来。下面通过成像模型分析对比2D-m FBM场景与对应的SAR图像之间的分形特征，包括多重分形谱和奇异性功率谱，研究通过电磁散射回波和SAR图像反演地形场景分形参数的能力。