重构信号仿真及其谱分析优化

为验证分形重构算法的有效性，本节首先根据给定的奇异域谱（瞬时奇异性指数和SPS）进行多重分形信号重构仿真；其次，对重构信号的奇异域谱特性，包括瞬时奇异性指数、多重分形谱MFS和奇异性功率谱SPS进行估计和误差分析，并以此作为分形重构的性能评价。

1.信号重构仿真

理论上对于任意给定的瞬时奇异性指数函数和SPS分布都可以进行分形重构。为简化分析，分别考虑线性函数、正弦波函数和抛物线的情形，将奇异性指数函数和SPS分布设定为上述三种类型函数的组合。仿真采用win7系统在matlab2017软件环境下进行，下面以α（t）为正弦函数、p（α）为抛物线型的正弦调制奇异性分形信号为例，说明具体仿真步骤。

（1）给定需重构的分形序列长度N=211，给定瞬时奇异性指数α（t）=0.8+0.5sin（4πt），其中t=linspace（0.1，0.9，N）。

（2）将奇异性指数区间［0.3，1.3］等间隔划分为count=200段，给定SPS分布p（αi）=-225（αi-0.5）2+26，αi为第i（0≤i≤count-1）段奇异性区间的中值，可见p（α）为α（n）∈［αmin，αmax］范围内的二次抛物线函数。

（3）第i段奇异性区间αi（t）∈［α（m），α（m+1）），统计具有相同奇异性指数的时间点，设分形子集Iα（i）=｛x（k），α［x（k）］∈αi（t）｝，其中假定x（n）为重构的信号。

（4）根据SPS分布，生成满足尺度幂律特性的各级小波系数，假定生成的小波级数J=6，Nai=＃｛Iα（i）｝表示分形子集Iα（i）的元素个数；根据式（7.53）可生成样本量为Nai、具有均值为零、方差为功率p（αi）的首尺度随机小波系数wjk。注：此处引入了随机变量wjk，一方面满足了奇异域功率分布的要求，另一方面，为信号重构引入了随机性和多样性。

（5）按式（7.50）和式（7.51）对各尺度的小波系数wjk进行估计；按离散小波重构的要求选定小波母函数，给定小波近似系数CJk。

图7.12（a）为采用上述算法在第4步得到的5个层级系数示意图，从上到下、从左到右分别为1～5尺度，这些尺度系数反映了信号的瞬时奇异性特征，同时通过高斯分布引入了随机性，但并没有考虑奇异域的功率分布，也无法作为离散小波系数进行重构；图7.12（b）为上述算法在第5步得到的小波系数的示意图，从中可见个尺度已经进行了小采样处理，不仅各尺度小波系数之间满足奇异性指数所给定的幂律特性，而且各奇异性子集满足P（α）函数所给定的功率特性，正好反映了信号的奇异性集合的功率谱特征。

图7.12　各尺度高斯分布随机序列以及综合的小波系数

（a）各尺度系数生成，满足给定奇异值指数所约束的幂律特性；（b）小波系数生成，满足奇异性功率谱特征

图7.13给出了采用db4小波的分形重构仿真结果，图7.13（a）为具有正弦奇异性指数和抛物线SPS的多重分形信号。作为对比，图7.14（a）给出了基于Fraclab2.5a软件包生成的具有与图7.13（a）相同的线性瞬时奇异性指数的多重分形综合信号，可以看到时域上两者有显著的差异，这正是分形重构的多解性的体现。此外图7.15（a）和图7.16（a）分别为采用不同的参数综合得到的多重分形信号；图7.17（a）为基于MFS和SPS的分形重构信号，下文将对上述各重构信号的奇异域谱特征进行分析。

图7.13　基于瞬时奇异性指数（正弦函数）和奇异域功率谱（抛物线型）的分形重构仿真

（a）重构信号；（b）瞬时奇异性指数；（c）奇异域功率谱分布；（d）多重分形谱

图7.14　基于Fraclab2.5工具箱综合的多重分形信号，其中综合信号长度、奇异性指数函数与图3相同

（a）重构信号；（b）瞬时奇异性指数；（c）奇异域功率谱分布；（d）多重分形谱

图7.15（a）采用恒定SPS和周期型奇异指数函数重构分形信号，与高斯白噪声信号在频谱具有对频率的不相关性类似，该重构信号具有与奇异性指数不相关的功率谱特性，可以称之为“奇异域白色分形噪声”。

图7.15　基于瞬时奇异性指数（正弦函数）和恒定奇异域功率谱的分形重构仿真

（a）重构信号；（b）瞬时奇异性指数；（c）奇异域功率谱分布；（d）多重分形谱(www.xing528.com)

图7.16（a）为具有线性奇异性指数和抛物线函数SPS的分形重构信号，与LFM信号类似，该信号在奇异域具有线性奇异性指数变化特征，可称之为“奇异域线调分形信号”。

2.重构信号的奇异域谱分析

为验证重构信号的分形特性，本小节从重构信号的瞬时奇异性指数、SPS和MFS三个方面进行了分析。其中，瞬时奇异性指数采用Fraclab2.5软件包提供的GQV算法进行计算［28］；SPS采用文献［29］提出的离散信号SPSD估计算法进行估计，MFS采用多重分形降趋波动分析法（MFDFA），分别采用一阶和二阶的趋势项MFDFA1和MFDFA2算法［30-31］。

图7.16　基于瞬时奇异性指数（线性函数）和奇异域功率谱（抛物线函数）的分形重构仿真分析

（a）重构信号；（b）瞬时奇异性指数；（c）奇异域功率谱分布；（d）多重分形谱

图7.14（b）～（d）为基于Fraclab软件包生成的分形信号奇异域分析结果。从图7.14（b）可见，奇异性指数α＞1时存在较大的估计误差，说明Fraclab软件包对α＞1的信号综合并不适用；图7.14（c）为采用SPSD算法时1次、100次和200次统计计算的结果，仿真表明重构信号的奇异性功率谱是随机的，统计分析的结果并不收敛，对SPS估计没有明显改善。这也从直观上说明了，本节提出的分形信号的重构方法在SPS维度上对信号进行了有效约束，增加了信号重构的维度。

图7.17为基于MFS和SPS的分形重构信号。图7.17（c）为给定的奇异性谱分布以及通过SPS算法100次统计估计的结果，可见该方法对SPS的恢复性能较基于瞬时奇异性指数和SPS的效果差；根据给定SPS，可得奇异性指数的概率分布，图7.17（b）为一定奇异性指数分布情况下得到的瞬时奇异性指数理论值和估计值；图7.17（d）为采用MFDFA1和MFDFA2算法对MFS的估计结果，可以看出两种算法结果比较一致，且奇异性指数范围均在给定的［0.1，0.9］之间。

图7.17　基于多重分形谱和抛物线型奇异域功率谱的分形重构仿真分析

（a）重构信号；（b）瞬时奇异性指数；（c）奇异域功率谱分布；（d）多重分形谱

通过仿真分析可见：①基于SPS的分形重构方法能够重构出给定的瞬时奇异性指数函数和SPS分布的分形信号，重构信号的MFS具有典型的多重分形特性；②本节的分形重构方法具有比Fraclab工具箱更好的重构信号，一方面可能改进功率特性的控制，另一方面对奇异性指数范围更具普适性；③双谱重构方法受仿真参数如重构数据量、奇异性指数离散化和分段数、小波分解级数、奇异性指数分布的影响。