基于SPS的分形信号重构方法

1.基于SPS和瞬时SE的信号重构

图7.10　分形信号在小波域的重构示意图

式中，0≤a≤2N，假定分形信号的奇异性功率谱为Px（α），可得信号总功率为

对于离散性的小波变换，可得信号总能量为

根据信号零均值和平稳假定以及信号的奇异性均匀分布假定，可得奇异子集对应的能量与奇异功率谱之间的关系

2.基于SPS和MFS的信号重构

与基于SPS和瞬时奇异性指数的信号重构相比，本质上由MFS代替瞬时奇异性指数是等价的，因为MFS是基于瞬时奇异性指数分析得到的，MFS给出了奇异性指数分布的统计分析，从中可以分析得到对于给定的奇异性指数，分形子带信号所占的概率和比重，而SPS则给出了分形子带信号的功率大小，由二者可以得到分形子带信号，进而重构原分形信号。

式中，N（n）（a，ε）为落在区间［a-ε，a+ε］内的点的数目，2n为采取尺度n时总二元区间分段数。多重分形谱f（a）可定义为当对信号的观测尺度ε减小、尺度划分无穷细密时，概率P幂指数衰减率，即

由奇异性功率谱Px（α）可估计首尺度小波系数的值。由奇异性功率谱的定义可知，分形子带信号xα（t）具有的功率密度为

根据SPS能量守恒推论可知，信号总功率为

对于离散性的小波变换处理，根据信号零均值、平稳假定以及信号的奇异性均匀分布假定，可得奇异子集对应的能量与奇异性功率谱之间的关系

式中，xα（t）为根据奇异性指数函数α（t）统计得到的奇异性子集，＃｛xα（t）｝为根据奇异性指数函数统计得到的奇异子集具有的点数测度；通过对α（t）离散采样和等间隔分割，采用具有零均值、方差Px（α）N（α）为正态分布的高斯随机过程模拟首尺度小波系数，即

由此可得2≤n≤N时，重构小波系数为

3.重构算法

基于SPS和瞬时奇异性指数的小波重构算法为：

（1）给定多重分形序列的长度N，x（n），n=0，1，2，…，N。

（2）给定x（n）的瞬时奇异性指数函数α（n）和SPS密度函数P（α）。

（3）统计α（n）的最大及最小值α（n）∈［αmin，αmax］，按照等步长对奇异性指数进行划分，得到一组奇异性指数向量α（m）=［αmin=α0，α1，…，αM-2，αM-1=αmax］。

（4）对于α（m），0≤m≤M-1，假定α（n）∈［α（m），α（m+1）），统计分形子集Iα（k）=｛x（k），α［x（k）］∈α（n）｝，记子集的元素个数为m（α），根据W（α）计算一阶分解的小波系数wn=0，kn=Iα（k）；基于“均匀一致覆盖”假定，取wn=0，kn=Iα（k）为具有零均值方差为W（α）的高斯分布随机变量，一方面引入随机因子，另一方面可以均衡奇异域的能量分布。

（5）根据式log2|Wn，kn|=α（kn）log2a+log2|W0，kn|，估计各级小波系数

（6）通过多级小波重构方法，得到多重分形信号x（n）=idwt（Wn，kn）。

根据上述算法，可给出基于SPS的分形重构与仿真分析流程，如图7.11所示，将在下节按该流程进行分析和讨论。

图7.11　基于SPS的分形重构与仿真分析流程