奇异性功率谱重构的可行性分析

1.分形重构基本命题

除了Cantor三分集等规则自相似分形模型外，多解性难题使得分形重构无法获得广义上具有普适性的重构方法。降低多解性影响的方法有两种，一是对奇异性指数的分布做出合理的假定，二是从更多维度去控制重构的奇异域谱分布。

分形重构基本命题：给定信号的瞬时奇异性指数α（t）、多重分形谱f（α）和奇异性功率谱W（α），可以通过某种特殊构造得到相应的分形子集x（α），从而按照x（t）=∪αx（α）对信号进行重构。注意到，分形的重构涉及分形子集的构造方法，按照Legendre多重分形谱的计算假定，在计算Hausdorff谱时，可以采用一致（均匀）覆盖［即采用了N（n）（a，ε，t）的计数方法］代替Hausdorff测度中的最优覆盖。“一致均匀覆盖”既然可以在计算多重分形谱时近似成立，在此，同样也可以作为重构多重分形的一种结构选择。因此在对分形信号进行重构前，可做出如下假定。

（1）分形信号具有零均值特性，该性质保证了充分发展的多重分形序列具有功率（能量）在时间域的均匀分布特性。

（2）分形信号在小波域具有平稳特性，即小波系数的平稳性，该性质使得奇异性分布具有均匀特性。

（3）满足重构时的一致（均匀）覆盖的特性，即采用了N（n）（a，ε，t）的计数方法代替Hausdorff测度中的最优覆盖。该假定是为了在对于多重分形信号重构时，忽略分形信号奇异性结构的多样性，用最简化的一致均匀覆盖来近似处理具有不同奇异结构的分形信号。(www.xing528.com)

2.分形重构概念模型

在已知信号的（时间）SPS分布、（时变）多重分形谱或信号的瞬时奇异指数的情况下，分形信号的重构的概念模型如图7.9所示。

奇异性指数函数或MFS描述了信号在各点的奇异性特征以及各奇异子集的分维特性，它们均确定了各时刻信号的可微性，反映的是信号局部与整体的相对关系。SPS体现了奇异性子集所具有的功率测度／能量测度，它反映了奇异子集自身的功率／能量水平。如果仅基于SPS对信号进行反演，由于只能得到分形奇异子集的功率分布，而无法确定奇异性指数的分布情况，所以无法唯一重构原信号；如果仅基于奇异性指数函数或者MFS反演分形信号，情况则正好相反。以往的重构均是假定了信号的SPS按均匀分布或任意分布，显然无法满足精确重构的要求。

图7.9　基于奇异性测度的分形信号重构

此外，由于MFS可以通过奇异性指数函数进行统计计算，而MFS中亦可反演奇异指数的统计特性，因此可给出如图7.9所示的基本反演模型，即联合SPS与奇异性指数函数或MFS的分形信号反演。