二维规则N2分乘法级联模型分析

1.二维N2分乘法模型及其解析多重分形谱

二维规则N2分乘法级联模型（粗糙表面）的具体构造步骤如下：首先，给定一个单位平面，并对该平面做单位质量（测度）赋值；其次，将原有正方形区域等分为N2（N=2，3，4，…）个小区域，概率测度分布分别为P1，P2，P3，…，PN2，其中P1+P2+P3+…+PN2=1，即二维规则表面的生成元为P1／P2／P3／…／PN2；最后，在N2个小区域内各自重复上一次操作（划分区域和概率赋值），得到N2个区域，并继续迭代操作直至无穷，过程如图7.6所示［1］，此模型称为二维N2分乘法模型。其中的比例因子P1∶P2∶…∶PN2称为倍乘因子。若P1∶P2∶…∶PN2为常数c1∶c2∶…∶cN2时，则称为二维N2分常乘法模型。

图7.6　二维规则表面构造示意图（N=2，k为重复操作次数）

（a）k=0；（b）k=1次时的操作过程（划分+概率赋值）；（c）k=2次迭代操作过程

基于统计物理的方法［1］和二维的MFPF算法，可以得到

不妨设0＜P1＜P2＜P3＜…＜PN2＜1，则式（7.30）可写为

由式（7.32）和式（7.33）可以得出奇异性指数α（q）的取值范围

由式（7.34）和式（7.35）可知，倍乘因子的分布范围决定了奇异性指数的分布范围［15］，但实际计算中，一般|q|max不可能取无穷大，因此，实际上用统计物理方法估算的奇异性谱都只是解析方法求得的奇异性谱的一部分。由式（7.30）可知，倍乘因子的分布形式决定了奇异性指数的分布形式。

当N=2时，N2分乘法模型的多重分形参数计算公式为

2.二维规则多重分形信号序列2D-MC的典型生成元

2D-MC生成元为P1／P2／P3／P4，满足P1+P2+P3+P4=1，且0≤P1，P2，P3＜1，如考虑生成元中概率含0的情况，则其奇异性谱的顶点小于2。2D-MC生成元有16种类型。然而对不同的生成元，奇异性谱有不同的形状和参数［1］。

图7.7为2D-MC信号的10种典型生成元（概率不含0）对应的解析奇异性谱。根据奇异性谱的形状来分类，奇异性谱顶点为2的情况有以下10种。

图7.7　2D-MC的10种典型生成元（概率不含0）对应的解析奇异性谱

（a）Ⅰ和Ⅱ类型；（b）Ⅲ和Ⅳ类型；（c）Ⅴ和Ⅵ类型；（d）Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ和Ⅹ类型

Ⅰ型：0＜P1=P2=P3＜0.25＜P4＜1，Ⅱ型：0＜P4＜0.25＜P1=P2=P3＜1，Ⅰ型和Ⅱ型的奇异谱的端点分别为0和1.585；Ⅲ型：0＜P3=P4＜0.25＜P1＜P2＜1，Ⅳ型：0＜P1＜P2＜0.25＜P3=P4＜1，Ⅲ型和Ⅳ型的奇异谱的端点分别为0和1；Ⅴ型：0＜P3=P4＜0.25＜P1=P2＜1，P2+P3=0.5，Ⅵ型：0＜P1＜P2＜0.25＜P3＜P4＜1，P2+P3=0.5，这两种都是对称的奇异性谱，一个奇异性谱的两个端点都为1，另一个的两个端点都为0；Ⅶ型：0＜P4＜0.25≤P1＜P2＜P3＜1；Ⅷ型：0＜P4＜0.25＜P1=P2＜P3＜1；Ⅸ型：0＜P1＜P2＜P3≤0.25＜P4＜1；Ⅹ型：0＜P1＜P2=P3＜0.25＜P4＜1。表7.1给出了概率不含0的10种典型生成元的2D-MC信号序列的奇异性谱的参数值，其中α0表示多重分形谱顶点所对应的奇异性指数。

表7.1　概率不含0的10种典型生成元的2D-MC信号序列的奇异性谱的参数值(www.xing528.com)

（续表）

图7.8给出了2D-MC的6种典型生成元（概率含0）对应的解析奇异性谱。多重分形奇异性谱顶点不等于2的情况有6种：Ⅰ型：P4=0＜P1=P2＜0.333＜P3＜1，Ⅱ型：P4=0＜P3＜0.333＜P1=P2＜1，Ⅲ型：P4=0＜P1＜0.333＜P2＜P3＜1，Ⅳ型：P4=0＜P1＜P2＜0.333＜P3＜1，这四种奇异性谱顶点为1.585；Ⅴ型：P3=P4=0＜P1＜0.5＜P2＜1；Ⅵ型：P3=P4=0，P1=P2=0.5，该型为单分形奇异性谱。表7.2给出了概率含0的6种典型生成元的2D-MC信号序列的奇异性谱的参数值。奇异性谱呈钩状或钟罩状，然而对不同的生成元，奇异性谱有不同的形状和参数。Ⅰ、Ⅱ类生成元四个概率中有一个为0，有两个概率相同，小概率占主要地位时f（α）呈现向右的钩状；而大概率占主要地位时，f（α）呈现向左的钩状。Ⅲ、Ⅳ类生成元，四个概率中有一个为0，另外三个概率彼此不相同（P4=0＜P1＜P2＜P3＜1），它们的奇异性谱也呈右钩和左钩状，但是Δf=f（αmin）-f（αmax）都为0。第Ⅴ类生成元四个概率单元中有两个为0，另外两个概率不相同，奇异性谱对称。第Ⅵ类生成元四个概率单元中概率有两个为0，另外两个概率相等为0.5，奇异性谱为一个点，单分形信号。

图7.8　2D-MC的6种典型生成元（概率含0）对应的解析奇异性谱

（a）Ⅰ和Ⅱ类型；（b）Ⅲ和Ⅳ类型；（c）Ⅴ类型；（d）Ⅵ类型

表7.2概率含0的6种典型生成元的2D-MC信号序列的奇异性谱的参数值

上述随机倍乘级联分形模型可应用于雷达海杂波的模拟仿真，文献［15］利用一种基于统计乘法倍乘模型的海杂波仿真方法，该方法打破了乘法倍乘因子关于1／2对称的约束限制，拓展了2分乘法模型［2］。文献［15］介绍了一种基于倍乘法级联模型的海杂波生成方法，通过对雷达海杂波倍乘因子的统计分析得到倍乘因子的统计分布模型，并对该分布模型的参数进行估计，然后根据估计得到统计分布，基于随机倍乘级联分形模型构造具有典型多重分形谱特征的海杂波信号。文献［25］进一步将上述方法推广至二维粗糙海面的模型仿真之中，提出利用22分随机乘法倍乘模型来仿真具有多重分形特性的海洋表面，该方法打破了乘法倍乘因子的统计分布对称性限制，更有利于仿真出具有期望非对称性的多重分形谱的多重分形信号。