【摘要】：FBM具有自相似性，是一种典型的非平稳过程。FBM模型的实现途径有两种，一是直接法，即利用FBM的性质，通过统计计算方法实现，或提取FBM协方差矩阵的平方根值，或利用多尺度分解的方法用一个高斯白噪声的分数阶积分实现；二是间接法，先计算一个FGN序列，然后通过对求累加和的方法得到一个FBM的样本序列N-1，FGN序列在时间点i／N，i=0，…常用的FBM重构方法包括随机中点法、FGN方法和基于小波的FBM重构方法。
在对分形信号建模时，最经典的分形模型为分形布朗运动（fractional Brownian motion，FBM），又称分数布朗运动，可定义为高斯白噪声的分数阶积分。
式中，Γ为伽马函数，H为Hurst指数。
Hurst指数H表征了数据之间的相似性关系，对于一维信号，它与分形布朗运动的分数维D存在如下关系：H=2-D。H和D均能表征分形特征。FBM的另一种定义为
当BH（0）=0，G=1时为标准分形布朗运动。
FBM具有自相似性，是一种典型的非平稳过程。但FBM的增量为平稳高斯随机过程，其分布满足N（0，δ2），其中δ是非零值，即有
式中，标准的FBM中参数C≡1，δ=1。
从FBM的自相似性质可推导协方差和自协方差函数分别为(www.xing528.com)
当BH（0）=0，H=1／2时，有B1／2（t）=B（t），即FBM等价于布朗运动B（t）；当|k|≥1，γ（k）=0；当H≠1／2时，|k|→+∞，FBM将具有双曲线性质的衰减特性，即为γ（k）～C2 H（2H-1）|k|2H-2。
分数阶高斯噪声（fractional Gaussion noise，FGN）是零均值平稳过程，FGN可看作FBM的增量，其分布可由自协方差函数进行描述，即
式中，H为Hurst指数，σ2为方差。σ2只是尺度参数，FGN的性质由H决定。
FGN的谱密度函数可由c（τ）的傅里叶变换得到，即
式中，CH=Γ（2H+1）sin（πH）／（2π）2H+1。
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