仿真实验与分析探究

1.BMC多重分形序列

BMC信号是一种典型的多重分形信号，由于BMC信号具有解析的信号模型和多重分形谱，因此被广泛地用于多重分形谱算法验证。为了仿真CSPS特性和对序列之间的相关谱分布特征提取能力，本节选择BMC信号为分析对象，BMC信号的定义如下：考虑单位质量和单位长度的线段l，将此线段分为等长的两份，此时每段线段对应的尺度为2-1，将单位质量按照比例p1：p2（p1+p2=1且0＜pi＜1，i=1，2）分配给这两等分线段，然后对两个线段分别进行二等分和质量测度赋值操作，重复迭代上述操作k次，便可得到长度为N=2k的BMC信号序列。本节选用的两组BMC信号的参数为BMC1：p1=0.3，p2=0.7；BMC2：p1=0.4，p2=0.6。

图6.27为采用CSPS对两个给定参数的BMC信号的分析图。图6.27（a）分别采用了不同的重构参数重构BMC信号，BMC1与BMC2相比，采用了更大差异化的权重赋值比例；从图6.27（b）可以看出，BMC1的奇异性指数散布范围更广，表明差异化权重赋值导致了信号的不规则性变化更加剧烈；图6.27（c）进一步从奇异性功率谱分布的角度进行了分析，从图中可见，信号的SPS奇异性指数分布范围与图6.27（b）一致，其次，与BMC1相比，BMC2的SPS分布更加集中在靠近0的奇异性指数附近，表明BMC2的信号功率分布更加集中在低奇异性指数区；图6.27（d）对BMC1和BMC2之间的CSPS进行了分析，仿真表明，信号之间的CSPS分布在两信号各自奇异性散布的交集范围，CSPS的幅值取决于BMC1和BMC2两个序列的在给定奇异性指数上子集的基数（card）、功率分布及其相关性。

图6.27　两个BMC信号的CSPS仿真分析图

（a）BMC1（p1=0.3，p2=0.7）和BMC2（p1=0.4，p2=0.6）；（b）基于GQV算法的瞬时奇异性指数估计；（c）BMC1和BMC2的SPS仿真结果；（d）BMC1和BMC2的CSPS仿真

2.可控重构多重分形序列

多重分形重构问题的多解性导致一般的多重分形信号模型很难从多重分形谱分布进行反演。BMC信号虽然有解析的MFS表达式，但由于BMC信号的SPS分布的不确定性使得无法定量地分析BMC序列的CSPS特性；同时，对于其他的分形重构算法，如多分形布朗运动模型（mFBM）、基于小波的多重分形重构模型、分形高斯噪声模型（fractional Guassian noise，FGN）、RWS模型等，只能通过统计方法求得其多重分形谱，而信号／序列在奇异域的功率谱分布同样不得而知。为定量研究多重分形序列之间的CSPS特征，本节采用了文献［30］提出的基于多重分形谱／瞬时奇异性指数函数和SPS的分形信号重构方法（ISE-SPS方法），我们称之为可控重构的多重分形序列［30］。

ISE-SPS重构序列参数：ISE为正弦变化的奇异性指数函数，αx（t）=c1 sin2πk1t+d1，αy（t）=c2 sin2πk2t+d2，其中c1=c2=0.3，k1=k2=2，d1=0.8，d2=1；SPS为具有二次函数特征的抛物线，其中px（α）=-100（α-0.8）2+26，py（α）=-100（α-1）2+26。图6.28为对两个重构的ISE-SPS序列信号进行的CSPS仿真分析结果。

图6.28　ISE-SPS重构信号／序列的CSPS仿真结果图(www.xing528.com)

（a）基于二次抛物线型SPS分布和正弦函数型瞬时奇异性指数函数重构的多重分形时间序列；（b）瞬时奇异性指数函数（c1=c2=0.3，k1=k2=2，d1=0.8，d2=1）；（c）SPS谱分析，二次抛物线型奇异性功率谱分布（理想值）以及对重构信号基于离散序列SPS算法对重构信号的SPS仿真500次统计的结果；（d）CSPS仿真图

从图6.28可以看出，两个多重分形序列在奇异域的互相关功率谱分布与两信号各自的SPS谱有关，具体表现为：①两信号的CSPS奇异性指数分布范围，为两信号各自SPS奇异性指数分布范围的交集区域，表明奇异性域的相关只发生在两信号共有的奇异性区域，非共有奇异性区域相关性为0；②在给定的奇异性指数上，CSPS谱分布的大小（dB值）与两原信号在该奇异性指数处的相关特性有关，包括该奇异性指数处两个分形子集的基数、功率分布及其相关性，具体关系如式（6.88）所示。

为分析不同的SPS分布类型对CSPS谱的影响，图6.29采用了另一组参数c1=0.5，d1=0.4，d1=0.8，d2=1.3重构多重分形信号，所采用的重构条件（理想的ISE和SPS）及对重构信号的ISE和SPS估计的结果同时显示在图6.29（b）和图6.29（c）中，与图6.28（b）和图6.28（c）的分析类似，估计出的ISE和SPS与信号所采用的重构条件基本符合，同时由于单次样本和谱分析算法本身的模型精度的影响，导致估计结果和重构给定条件有一定的误差；图6.29（d）显示了两信号之间的CSPS谱分布情况，从图中可见，当重构条件SPS和ISE发生变化时，对应的CSPS分布在奇异性指数分布区间和相关谱的幅值上也相应发生变化，正如CSPS定义公式蕴含的关系。

图6.29　采用另一组SPS函数重构的ISE-SPS信号／序列的CSPS仿真分析

（a）重构得到的多重分形序列；（b）瞬时奇异性指数函数αx（t）=c1 sin4πt+d1，αy（t）=c2 sin4πt+d2（c1=0.5，c2=0.4，d1=0.8，d2=1.3）；（c）SPS重构条件：px（α）=-100（α+0.2）2+225，py（α）=-100（α-2.3）2+196，以及对重构信号的SPS估计；（d）CSPS仿真图