实验分析：分数阶傅里叶变换和FDSPS数值仿真的结果

采用FDSPS分别对GWN、FBM和线性m FBM信号以及实测的海杂波信号进行仿真分析，其中GWN、FBM和线性mFBM信号与上节相同，实测海杂波信号来源于IPIX雷达数据集，见第8章数据说明。此外，本节采用了基于振荡PSE估计算法。

图6.20显示了GWN的分数阶傅里叶变换以及FDSPS数值仿真的结果，其中GWN的数据长度N=212，从图中可见，GWN的分数阶奇异性功率谱集中分布在奇异性指数为0的附近。理论上，GWN的SPS和FDSPS应一致分布在奇异性指数α处，实际计算中由于OSC算法估计PSE时引入了一定的误差，导致了上述FDSPS估计的偏差。对于不同分数阶参数，FDSPS展示了一致分布特性，包括FDSPS的奇异性范围和幅度信息等，从中可见对于GWN信号而言，FDSPS没有提供比SPS更多的信息特征，说明GWN在分数阶域和奇异域仍然具有白色噪声特性。从图中还可看出，分数阶的GWN继承了时域GWN的奇异性特征，且二者在奇异性指数范围和时域信号的奇异性功率谱方面与FDSPS（分数域GWN的SPS）具有相同的特性，而与分形阶的大小无关。

图6.20　GWN的分数阶傅里叶变换以及FDSPS数值仿真的结果

（a）FrFT谱；（b）FDSPS

图6.21显示了FBM信号的FrFT和FDSPS数值仿真结果，其中FBM的Holder指数H=0.4，数据长度N=212。图中可见，估计的奇异性指数α范围为［0.31，0.52］，且FBM的FDSPS随分数阶p的变化存在较大的波动，当p=1，即为频域SPS，FDSPS取得最大值。在不同的分数阶p，FDSPS散布在不同的奇异性指数范围，且FDSPS的幅值存在一定的波动，表明FBM的FDSPS的分数域的奇异性功率谱分布特征随分数阶p的波动性。在p∈［0.8，1.2］时，根据式（6.66），FBM的FDSPS有明显的峰值，且峰值随分数阶和奇异性指数的线性函数变化，表明不同阶数的FDSPS具有跟踪不同层次奇异性指数的能力，且当p=0时，FDSPS简化为SPS。图6.22显示了mFBM的Fr FT和FDSPS数值仿真的结果，其中mFBM的瞬时奇异性指数函数为H=0.1+0.8t，数据长度N=212。从图中可见，mFBM的FDSPS随分数阶p存在剧烈的波动，当p=1时，FDSPS即频域的SPS具有最大值。从图6.22（a）中可见，m FBM在分数域包含了丰富的chirp成分，这些chirp成分具有广义的自相似性和多重分形特征。图6.22（b）显示mFBM的FDSPS具有比FBM变化范围更大的奇异性区间，同时当p=1，FDSPS退化为α∈［0.1，0.9］的SPS，而在其他分数阶，FDSPS具有更多的奇异性指数散布范围。

图6.21　FBM的分数阶傅里叶变换以及FDSPS数值仿真的结果

（a）Fr FT谱；（b）FDSPS

图6.22　线性mFBM的FrFT谱以及FDSPS数值仿真的结果

（a）Fr FT谱；（b）FDSPS

图6.23　IPIX实测海杂波的FrFT谱以及FDSPS数值仿真的结果

（a）Fr FT谱；（b）FDSPS

图6.23显示了IPIX实测海杂波数据的Fr FT和FDSPS数值分析结果，其中海杂波的奇异性指数α分布在［0.25，0.6］。图6.23（a）为Fr FT计算结果，图6.23（b）为FDSPS计算结果。从图中可见，海杂波在Fr FT域具有多重分形特征，且不同分数阶的奇异域功率分布具有显著的变化。当1＞p＞0.85，FDSPS在奇异域具有明显的峰值，当p＜0.85时，FDSPS在奇异域近似为均匀分布，由此可见，在对海杂波噪声抑制时，如果能正确估计出最优的分数阶数，那么基于FDSPS的特征分析和滤波技术将提供一种新的技术手段。(www.xing528.com)

为了观察和比较不同信号的FDSPS特性，我们给出了FDSPS对数尺度下图6.20（b）、图6.21（b）、图6.22（b）和图6.23（b）的三维图，如图6.24所示。总的来说，可以看出GWN的FDSPS与其他分形信号的FDSPS有明显差异。此外，真实海杂波的FDSPS与规则分形信号FBM以及多分形信号mFBM有明显的差异，显示海杂波有更加复杂的多重分形特性以及更加复杂的动力学形成机制。

图6.24　四类信号的FDSPS分布三维展示图

（a）GWN；（b）FBM；（c）mFBM；（d）IPIX海杂波

图6.24（a）显示GWN的FDSPS分布在理论的奇异性指数H=0附近，且关于分数阶的FDSPS的峰值出现在α=0。图6.24（b）显示FBM的FDSPS在奇异域上比α=0.4的理论值有一定的拓展，当p≤0.5时，FDSPS的峰值集中分布在α=0.25附近；当0.5＜p≤0.9，FDSPS的峰值集中分布在0.3＜α＜0.6的范围；当0.9＜p≤1时，FDSPS的峰值与分数阶p呈现出线性关系。mFBM的FDSPS主要分布在0＜α＜1的范围内，且FDSPS没有明显峰值，如图6.24（c）所示。对于不同的分数阶，FDSPS分布在不同的奇异指数范围内，如当p≤0.35时，FDSPS分布在0.6＜α＜1.4；当0.35＜p≤0.85时，FDSPS分布在0＜α＜1.2；当p＞0.85时，FDSPS分布在0＜α＜0.5。

研究表明，对于某些频段较宽、奇异性指数域分布较窄的噪声，可以利用SPS对奇异域内的噪声进行滤波。然而，传统的SPS分析难以同时在频域和奇异域抑制宽带噪声，在这种情况下，FDSPS可望提供一种分离和去除宽带奇异域噪声的新方法。仿真结果还表明，在分数域内，尺度不变性和多重分形特征存在一种选择性遗传机制，具体的选择性遗传策略有待进一步研究和发现。