分数域的奇异性功率谱分析

1.多重分形信号的Fr FT谱

对于时域多重分形信号m FBM（t），做p阶分数阶傅里叶变换，可得

式中，Mp（u）定义为分数频率u域的Fr FT谱，α为旋转角，p称为变换阶数，Kp（t，u）为Fr FT的核函数，如式（6.61）所示。

文献［15］已经通过理论分析和实际数据仿真验证了，分形信号在分数域不同变换阶数间具有近似的分形特性，而同一变换阶数具有多重分形特性。以此为基础，我们研究Mp（u）的瞬时奇异性和奇异子集划分问题，并按照第二节中奇异性功率谱的定义方法，给出分数域奇异性功率谱的定义。通过分数阶傅里叶变换后，多重分形信号（过程）在分数域保留了原有的分形特性，但其多重分形谱发生了一定变化。由于FrFT分数域对chirp信号有很好的提取能力，一方面，通过选取一定旋转变换角度可以有效检测多重分形谱的存在和变化，且能借助分数域的多重分形谱检测目标信号的存在；另一方面，FrFT分数域对于信号能量有很好的累积作用，通过分数域的奇异性功率谱分析，能更加直观地提取目标回波信号，通过分数域的奇异性功率谱对目标信号进行检测。

2.分数域奇异子集及奇异功率测度

对分数域谱Mp（u）进行瞬时奇异性指数分析，采用Fraclab2.1软件包中的GQV方法，得到Mp（u）的瞬时奇异性指数αp（u），对Mp（u）进行划分，得到分数域的奇异性子集

3.分数域奇异功率谱分析（FDSPS）

图6.18　分数域奇异性测度和SPS之间的关系示意

对于周期分形信号或有限频率支撑的分形信号Mp（u），u∈［-U／2，U／2］，其分数域奇异性功率谱密度函数可定义为

将式（6.67）代入式（6.73），可得p阶分数域信号Mp（u）的奇异性功率谱密度函数为

根据分数奇异性功率谱的定义，分数域SPS有如下基本性质。

（1）正定性，亦即Pp（α）≥0，对于任意的奇异性指数α和分数阶p。

（2）对时域尺度不变性的继承性，即在最佳旋转角度下，FDSPS可以保留原始多重分形信号的尺度不变性特征。

（3）与奇异功率谱和传统功率谱的兼容性，亦即

式中，xT（t）为截断时间信号，P（α）为信号的奇异性功率谱，Px为传统信号功率的定义。