FrFT的尺度特性探析

1.Fr FT定义

定义在时域的函数x（t）的p阶Fr FT是一个线性积分运算，即

式中，Xp（u）定义为“分数频率”u域的Fr FT谱，p为变换阶数，Kp（t，u）为Fr FT的核函数，且有

Fr FT在对非平稳信号的分析和处理中具有很多优良特性，尤其适合于处理chirp（LFM）类非平稳信号。在相参雷达信号处理中，若目标在雷达径向做匀加速类运动，则目标回波信号为LFM信号，由傅里叶变换得到的目标回波频谱不是一个理想尖峰，而是分布在一定频率范围内，即目标能量没有得到最佳积累。而通过设定合适的Fr FT旋转角，LFM信号可以在Fr FT域形成一个类似于单频信号在频域所形成的尖峰，目标能量得到了最佳积累。目前，很多文献都将短时间内的机动目标回波建模为LFM信号，进而采用Fr FT或其他时频分析方法，使信号能量得到最大程度积累以提升信杂比（signal-to-clutter ratio，SCR），进而设计能量检测器实现目标检测。

2.自相似过程的分数域尺度特性

首先，考虑一个分形自相似过程，如分形布朗运动BH（t），其自相似性通常用Hurst指数来刻画。在自然界中，这种自相似性通常是统计意义下成立的，即

令cotβ=cotα／k2，即tanβ=k2 tanα，式（6.63）可变为

通过对式（6.64）取模可得(www.xing528.com)

近似地，可得

研究表明，在统计意义下，当计算误差在5%以内以及变换阶数在-1.3≤p≤-0.7或0.7≤p≤1.3范围内时，若变换阶数pα和pβ满足关系tan（pβπ／2）=k2 tan（pαπ／2），则与pα、pβ相对应的一系列Fr FT谱之间存在近似分形特性（或近似相似性）。同时式（6.66）表明，在某一变换阶数下，BH（t）的Fr FT谱的模值（幅度）在严格意义下不是尺度不变的，随着尺度k的变化，变换阶数pβ也发生变化。换言之，自相似过程的Fr FT谱在不同尺度范围下表现出的“粗糙”程度并不一定相同。因此可采用多重分形理论，将自相似过程的Fr FT谱依概率划分成一系列的子集，并分别研究各个子集的自相似结构，从而实现对整个Fr FT谱自相似结构的完整描述。

3.分数域奇异谱分析

将分形信号按瞬时奇异指数分解为奇异子集，得到奇异谱来描述奇异子集的分形维数，该分形维数反映了不同信号水平和尺度下的相似结构。

文献［15］利用自相似过程在Fr FT域具有的尺度特征，提出了分数域奇异谱分析方法。利用LFM信号在Fr FT域的能量积累作用，提出了基于分数域分形维数和奇异谱的目标检测与识别方法，并将分数奇异谱分析应用于海杂波背景下的微目标雷达检测之中。此时，分数阶奇异谱分析需考虑Fr FT变换的最佳旋转角，而该最优角度取决于目标运动参数和场景回波特征。研究表明，海杂波的Fr FT值随变换阶数的变化而变化，在最优变换角度，海杂波的Fr FT集中在一个很小的距离范围，此时可获得最大的信噪比（signal-to-noise ratio，SNR），从而完成微弱雷达目标的检测。