分数域的奇异性功率谱的理论与算法

分形理论被证明对自然界广泛存在的一类自相似、非平稳和尺度不变特性信号具备较好的建模和处理能力［1］，基于FBM及多重分形建模和信号处理方法被广泛应用于信号与图像处理、生物医学、地质学和大气遥感等领域［2-6］。最近几年，分形理论逐渐从单一分维和多重分形谱发展为短时多重分形谱和时间-奇异性二维谱分布等［7-12］。文献［1］研究指出，以分形维数和奇异谱／多重分形谱分析为基础的FBM和多重分形分析在刻画信号空间可微性特性的同时，忽略了信号能量随奇异性指数的分布特性，这使得无法通过多重分形谱唯一重构多重分形信号［13］。针对这一问题，6.3节和6.4节分别给出了奇异性能量谱和奇异性功率谱分析方法。

但是上述分形分析方法均是基于时域信号的，即对时域信号进行的奇异性指数分析和维数分析。文献［14］和［15］结合分维和多重分形分析与Fr FT方法的优势，提出了基于Fr FT的分数阶分维、广义分维和多重分形谱的信号分析方法，探索了FBM自相似信号在Fr FT域的保相似性变换特性，在一定的尺度范围内获得了基于FBM的尺度特性，并对基于Fr FT的雷达海杂波信号进行了仿真分析；文献［16］研究了基于Fr FT的分形维数和多重分形谱估计方法，该方法基于Fr FT与小波分析的关系，将基于小波系数的WTMM方法转化为基于Fr FT的奇异性估计方法。

分数阶傅里叶变换（fractional Fourier transform，Fr FT）在分数级次上推广和延伸了传统的傅里叶变换，具有空间-频率联合表征的信息提取能力［17］。通过引入变换阶数，Fr FT拓展出一组与时间域、频率域同等地位的变换域，全面反映信号时间频率联合特征，能够更加精确地对信号进行表征和处理［18］。特别是对于通信、雷达和遥感系统中常用的chirp信号，Fr FT在最佳分数阶的处理具有优秀的能量聚集和抑制噪声的作用［19］，因此，可以预见Fr FT域的分形分析将是传统分形分析的有益补充，会产生重要的理论意义和更广泛的应用前景。(www.xing528.com)

在上述研究的基础上，本节将充分利用Fr FT分析的优势，即：①Fr FT分数域对于信号频率和能量的聚集特性，更加精准的分数域信号表达；②Fr FT分数域变换是一种分形保真变换，证明Fr FT变换对于cusp奇异性和chirp奇异性的保真作用，从而保证了奇异功率谱在分数域更好提取奇异性功率分布的特性；③可预见在分数域，SPS将具有更加有效的噪声抑制能力和信号奇异性功率谱提取能力。因此，本节提出基于Fr FT的信号奇异域功率谱分布函数，并研究几种典型的分形综合信号和自然分形噪声在分数域奇异域功率谱分布特性，仿真分析研究了在奇异域功率谱分析的可行性，为分数域奇异功率谱在信号建模、分析和处理中的应用奠定了基础。

6.5.1节介绍了相关基础，包括Fr FT、Fr FT的尺度特性和分数域奇异谱分析。6.5.2节研究和提出分数域奇异性功率谱的概念，推导信号的分数阶奇异性能量谱和分数阶奇异性功率谱表达式。6.5.3节研究分数域奇异性功率谱的算法实现方法和数据实验分析结果。