奇异功率谱密度函数的概念和应用

设X为信号集或时间序列集，x（t）∈X，（0≤t≤T）为连续时间信号，定义xα（t）=｛x（t）：α［x（t）］=α｝为信号x（t）的分形子带信号（分形子集），xα（t）所对应的时间下标为分形子集t（α）=｛t，α［x（t）］=α｝，即

式中，α［x（t）］为x（t）在时刻t的奇异性指数，由多重分形理论可知，x（t）为稠密子集且∪axα（t）构成了信号x（t）的紧支撑。同时xα1（t），xα2（t），xα3（t），…构成了x（t）的一个划分，其中xα（t）两两互不相交，即xαi（t）∩xαj（t）=φ，i≠j。全体可测子集构成集合系I=｛xα1（t），xα2（t），xα3（t），…｝，I为拓扑可测集，存在定义在集合系I上的可测函数f：I→R+，则（X，I，f）构成了一个可测度空间。

而xT（t）的功率测度与奇异功率谱之间满足关系

此时，x（t）的奇异性功率谱密度函数可采用极限形式定义为

对于有限时间支撑或周期为T的分形信号或时间序列x（t），t∈［-T／2，T／2］，其奇异性能量谱密度以及奇异性功率谱密度可定义为(www.xing528.com)

SES密度描述的是信号或者时间序列的能量或者变化如何随着奇异指数的分布，SPS密度定义为单位奇异性指数范围内的“功率”，反映的是信号功率随奇异性指数的分布情况。