仿真分析与讨论：探索6.3.6的可能性

为验证奇异性能量分布的有效性和可行性，本节采用3类信号进行仿真分析，分别是高斯白噪声（white Gaussian noise，GWN）、分形布朗运动（fractional Brownian motion，FBM）模型（H=0.4）和多分形布朗运动（multifractional Brownian motion，m FBM）。其中瞬时奇异性指数分别设为H（t）=0.1+0.8t和H=0.5+0.3σιν（4πτ），FBM和mFBM信号均可采用Matlab软件包Fraclab 2.06进行仿真生成。所有参数和谱分布的计算均采用10 000次仿真统计均值，以消除有限数据计算的影响。

对于上述信号，利用6.3.5节的近似算法通过对GWN、FBM和mFBM的奇异性指数估计、分形子带信号分解、奇异子集的计算来仿真其奇异性能量谱（singularity energy spectrum，SES）。GWN、FBM和mFBM数据长度分别设为N=28，210，213，216，将理论值与仿真实验结果进行比较分析。此外，基于广义二次变分法（generalized quadratic variation，GQV）分析了信号的瞬时奇异性指数，以及基于WTMM算法分析了信号的多重分形谱。通过分析，展示了SES对信号在奇异域能量分布的描述能力，以及不同信号SES的差异性，同时通过奇异子集分解和展示，证明了奇异子集的存在性以及不同分形信号具有的奇异子集分布特征。

图6.3显示了GWN信号及其瞬时奇异性指数、多重分形谱和奇异性能量谱。图6.3（a）为方差σ2=1，长度N=216的高斯白噪声；图6.3（b）为GWN的瞬时奇异性指数估计结果，图中显示α∈［-0.02，0.04］，表明GWN的奇异性集中在0附近；图6.3（c）和（d）分别为GWN的多重分形谱和奇异性能量谱，从图中可见，GWN的能量集中在很小的奇异性指数范围内。理论上GWN的奇异性指数处处为0，MFS和SES的谱应集中在一点，然后由于随机过程一次实现的随机性以及有限数据长度导致了奇异性指数估计的漂移和拓展，造成了一定的误差。

图6.3　GWN在奇异域能量谱分布仿真结果

（a）GWN信号，其中σ2=1，N=216；（b）基于GQV方法的PSE估计结果；（c）基于WTMM的多重分形谱估计；（d）SES仿真结果

图6.4为FBM的分析结果，其中图6.4（a）为H=0.4的FBM信号；图6.4（b）为FBM的PSE，其中虚线为理论值，图中显示估计的PSE分布在［0.38，0.42］，在理论值0.4的附近；图6.4（c）和（d）分别为FBM的多重分形谱和奇异性能量谱，从图中可见，FBM的能量集中收敛在理论的奇异性指数值附近，其中W（0.4）即为分形能量测度。如果改变H参数，则相应的SES的奇异性指数也随之变化。

目前已有多种多重分形谱估计算法，包括基于盒维数的方法、MF-DMA、小波leaders、MFDFA、WTMM等。本节分析中，我们仅使用WTMM进行多重分形谱估计，以辅助解释信号的奇异性能量测度和奇异性能量谱的物理含义，因为根据定义可知，SES定义与f（α）维分形空间的分形子集xα（t）的Hausdorff测度和奇异能量测度有关。

图6.4　FBM在奇异域能量谱分布仿真结果

（a）FBM信号，其中H=0.4，σ2=1，N=216；（b）基于GQV方法的PSE估计结果；（c）基于WTMM的多重分形谱估计；（d）FBM的SES仿真结果

图6.5显示了具有线性奇异性指数函数的mFBM信号的奇异域能量分布仿真结果，其中图6.5（a）为mFBM信号仿真结果，图6.5（b）为m FBM的瞬时奇异性指数估计结果，从图中可见PSE的估计值与理论值具有较好的吻合度，其中估计的PSE存在理论值的上下波动；图6.5（c）为分别采用N=28，210，213，216四种数据长度仿真的结果，其中当N=28时，估计的MFS的结果在q＜0时明显大于理论值，当N=216时估计的结果与理论值最接近，表明mFBM的估计结果随数据长度变化具有统计收敛的特性。图6.5（d）为mBFM的SES仿真结果，从图中可见PSE分布范围为［0.1，0.9］，SES的最大值所对应的奇异性指数表示为αmax，则相应的分形子集xαmax（t）是可测的，且该子集在f（αmax）维分形空间的分形能量测度为W（αmax）。

图6.5　具有线性瞬时奇异性指数函数H（t）=0.1+0.8t的mFBM信号在奇异域能量谱分布仿真结果

（a）mFBM信号；（b）基于GQV方法的PSE估计结果；（c）WTMM多重分形谱估计；（d）SES仿真结果

图6.6为采用非线性奇异性指数函数进行仿真的结果，与图6.5的区别在于采用了非线性的PSE函数。从图中可见，对于具有非线性奇异性指数函数的m FBM，估计的PSE能很好地跟踪瞬时奇异性指数的变化，多重分形谱随数据长度增加具有较好的统计收敛性，奇异性能量谱的估计结果与理想值具有较好的吻合度。

图6.6　具有非线性瞬时奇异性指数函数H=0.5+0.3sin（4πt）的mFBM信号在奇异域能量谱分布仿真结果(www.xing528.com)

（a）mFBM信号；（b）基于GQV方法的PSE估计结果；（c）基于WTMM的多重分形谱估计；（d）SES仿真结果

图6.7显示了四种信号的奇异子集分解结果和分形子带信号图。仿真结果显示奇异子集分解通过奇异性指数对信号进行划分，从而获得原信号的分形子带信号，SES正是以此为基础进行的统计估计。对于GWN，其分形子带信号在时域具有一致的分布，且所有子集均在0奇异性指数附近，这与GWN的奇异性特征是一致的。对于FBM，理想情况下，应只具备H=0.4的奇异子集，但由于数值估计的误差导致最终的奇异子集分布在一个以0.4为中心的小的奇异性指数区间内。对于线性mFBM信号，分形子带信号xα（t）具有和瞬时奇异性指数函数H（t）相同的线性特征，如xα0（t）集中在时间轴t0=（α0-0.1）／0.8，且奇异子集的能量集中在α0。对于非线性mFBM信号，其中PSE满足H（t）=0.5+0.3sin（4πt），奇异子集xα0（t）包含了t0=arcsin［（α0-0.5）／0.3］／4π的所有点集。图中对四种信号分别标注了奇异窗口，从中可见奇异性指数分解形成奇异子集的过程，对于非线性mFBM而言，还存在时域投影窗和奇异域投影窗，通过对xα（t）的时域投影和奇异域投影分析，可得分形信号及其瞬时奇异性指数函数。从xα（t）的仿真实验结果可见分形信号的奇异性分解可表征分形信号的动态演化过程，一定程度地反映出系统的空间动力学特征。

在上述仿真分析中有几点值得注意：第一，瞬时奇异指数的估计偏差导致MFS、分形子带信号和SES的仿真结果存在一定的误差。例如，FBM的PSE的波动导致MFS和SES的膨胀，而不是生成理想的单点奇异性指数，GWN和mFBM也同样存在上述问题。因此，有必要根据计算需要，选择合适的PSE估计算法。第二，由于分形时间单元的局部方位角和Hausdorff测度估计困难，因此仿真中未直接采用连续信号SES估计算法，而是采用了离散信号SES近似算法进行代替，而离散SES算法缺乏严格的数学证明，这也将导致SES存在一定的误差。在上一节中，我们研究了分形微元的Hausdorff测度的上确界以及局部方位角，但还需要更多相关的理论研究，才有可能对连续SES算法进行更精确的逼近和估计。第三，SES定义在分形空间且具有奇异性特征，正如分形子集xα（t）定义在f（α）维空间且具有Hausdorff测度Hf（α）［xα（t）］一样。在非严格的意义上，根据分形射影定理，奇异能量测度为定义在f（α）+1维空间的物理量。进一步，对于单分形信号而言，其SES定义在f（α）+1维空间。相关问题的讨论涉及分形几何严格的理论证明，可以预见未来高精度PSE估计、局部方位角和分形时间单元及其Hausdorff测度的研究，将会有助于SES的物理意义和数学根源更深入地探索和研究。

图6.7　不同信号的奇异子集分解和分形子带信号仿真结果

（a）GWN；（b）FBM；（c）线性mFBM；（d）非线性mFBM

值得注意的是，本实验只检验了典型的分形和多重分形信号，对于现实世界中的自然分形信号，SES和FEM的有效性和可行性有待进一步检验。

本节给出了多重分形信号的FEM和SES分析的概念和数学表达式，估计了分形单元的Hausdorff测度的上确界，分析了分形信号的局部方位角；证明了FEM与传统能量法的相容性，并指出SES是定义在分形空间中的测度。给出了连续信号及离散信号条件下SES的算法表达式，给出了离散信号SES的近似算法。

对高斯白噪声、分形布朗运动和多分形布朗运动的FEM和SES进行了仿真计算和分析，讨论了计算精度和理论严谨性方面存在的一些缺陷。实验结果表明：①GWN、FBM、线性mFBM和非线性m FBM的分形子带信号／子集是基于奇异分解而实际存在的，从分形子集图中蕴含了不同类型信号的多重分形特征。对于GWN，分形子集簇只有一个近似在H=0的子集。对于FBM，它也是一个给定H的子集。对于mFBM，其分形子集簇分布具有不同的奇异指数，当αmax=maxα［f（α）］时，maxα［f（α）］=1，对应的分形子集为稠密子集；当PSE偏离αmax时，分形子集变为稀疏集。②SES表示分形信号随PSE的能量分布。GWN和FBM的SES表现为在给定奇异性指数处的一个点，其值分别表示该奇异性对应的子集（理论上即为原信号）具有的能量。m FBM信号的SES在奇异性指数域具有非常丰富的SES谱特征，实验表明，SES不具有类似多重分形谱函数的凸函数，且SES在奇异域的积分即为FEM。同时分析表明，PSE的高精度估计、局部方位角的估计、分形时间单元的Hausdorff测度及基于分形投影定理的高维信号处理的SES和FEM将是本领域未来发展的方向。