分形微元的Hausdorff测度和局部方向角研究

由式（6.18）和式（6.19）可知，在分形能量测度和奇异性能量谱的计算中，分形微元的Hausdorff测度及其局部方向角的估计是至关重要的。从Hausdorff测度的数学定义出发计算奇异性能量谱是相当困难的，特别在应用上难以实现。考虑到集合覆盖的任意性，不失一般性，当上述覆盖｛Ui｝i∈N是尺度为ε的盒子时，若［α，α+dα］内测度为μ（α）的盒子数为N（α），则有下式成立：

由式（6.28），可得

从而有

将τ（q）=qa-f（a）和B（q）=S（a）（q）2-nτ（q）代入式（6.30），可得A（α）≤B（q）2n|q|ε，即

Hausdorff测度的估计本身就是一个相当复杂的问题，且至今还停留在典型的分形集上，本节通过配分函数S（a）（q）和奇异性指数的计量函数之间的不等式关系，架起一座Hausdorff测度估计和配分函数S（a）（q）之间的桥梁，从而将奇异性能量谱的估计问题转化为基于小波的配分函数、多重分形谱、权重因子和小波尺度的解析表达式。

关于局部方位角：称Rn中的s集F在x点有方位角为θ的切线，如果上凸密度

并且，对于每个角φ＞0有

图6.2　分形微元的局部方位角示意图

式中，B（x，r）为以x为中心、r为半径的闭圆盘，S（x，θ，φ）为顶点在x、包含使得线段［x，y］与θ或-θ最大成角φ的那些y构成的双锥体，其中φ为双锥体的顶角。如图6.2所示，F在点x有方向为θ的切线，则对于很小的r，在B（x，r）＼S（x，θ，φ）上的F的部分是可忽略的。这将确保F的有效部分在方位角θ的方向上接近于x，但在双锥形区域以外S（x，θ，φ）可忽略。将上述切线方位角θ的概念推广到x中的所有时刻，得到随时间变化的局部方位角θi，称为分形微元的局部方位角，如式（6.14）所示。

根据几何测度论和切线测度理论，对于满足有限正Hausdorff测度的博雷尔集合（即s集），当集合的维数s为整数时，s集为规则集，此时s集几乎处处都存在切线。对于R2上的s集F，当1＜s＜2时，F上的几乎所有点都没有切线存在，若0＜s＜1，F上切线的存在性尚无定论。这种具有正测度的集的局部方向分布，可以类比于传统微积分中切线的定义，对于满足s集的分形曲线，这里暂不从理论上证明该局部方向分布的存在，只是从应用的角度引入到分形信号处理之中。