分形能量测度与奇异性能量谱分析

设X为信号集或时间序列集，x（t）∈X，（0≤t≤T）为连续时间信号，定义xα（t）=｛x（t）：α［x（t）］=α｝为信号x（t）的分形子带信号（分形子集），xα（t）所对应的时间下标为分形子集t（α）=｛t，α［x（t）］=α｝，即

式中，α［x（t）］为x（t）在时刻t的奇异性指数。由多重分形理论可知，x（t）为稠密子集且∪a xα（t）构成了信号x（t）的紧支撑。同时｛xα1（t），xα2（t），xα3（t），…｝构成了x（t）的一个划分，其中，xα（t）两两互不相交，即xαi（t）∩xαj（t）=φ，i≠j。全体可测子集构成集合系I=｛xα1（t），xα1（t），xα1（t），…｝，I为拓扑可测集，存在定义在集合系I上的可测函数f：I→R+，则（X，I，f）构成了一个测度空间。

与传统信号的能量定义相比，计算分形子集和分形子带信号能量的方法有所不同。对于一维信号，虽然分形信号x（t）的分形维数大于一维，但x（t）仍定义在一维上，按照传统的能量计算方法，分形信号的能量即为分形信号的平方对时间轴的积分。但事实是，如果取一段小区间Δt，此时，信号与小区间围成的闭合空间是大于二维的，如果信号（曲线）是理想的分形曲线，且具有无穷层次的自相似结构，那么将无法采用传统信号能量定义采用的线性化逼近的方法。如果信号具有有限的层次结构和标度区间，当区间取极限时，同样可以近似采用这种区间线性化逼近的方法计算分形能量测度和奇异性能量谱。所以，当区间足够小时，可以用一种二维的、平面的观点来计算分形区间内的信号能量。但是，在处理分形时间微元x（dtf）时，必须按照分形信号的Hausdorff测度导出时间微元的测度。

假定x（t），t∈［a，b］为有限时间支撑的分形信号，为计算分形信号x（t）的能量测度，借鉴传统信号能量定义方法，在［a，b］区间中插入若干个分点

把［a，b］分成n个小区间［t0，t1］，［t1，t2］，…，［tn-1，tn］，如图6.1所示，每个区间长度为Δtfi=ti-ti-1。与传统信号能量定义不同的是，在研究x（t）的分形能量测度时，我们将其投影Δti称为分形时间元，在各分形时间元中选取某点ξi∈［ti-1，ti］，i=1，2，…，n，其对应的信号的幅值为|x（ξi）|2，按照定义可知信号能量为

图6.1　分形时间微元、分形能量微元和分形能量测度示意图

假定λ=max｛Δtfi｝，当λ→0时，可知分成的区间段数n→+∞，此时有

对于分形时间微元dtf，可视为分形信号x（t）对于时间轴的投影，必须采用与分形信号相应的测度方式进行度量。在区间［ti-1，ti］，分形信号的弧长L｛x（dtf）｝为

式中，θi为分形曲线在x（ξi）点对应的局部方向角（对应于传统曲线中的切线方向），将在下节讨论。按照分形信号的Hausdorff测度定义，分形曲线在分形时间微元dtf区间对应的弧长为其上分形信号的Hausdorff测度，即

那么，对于分形时间微元，可得

分形能量元可表示为

从而，可得信号的分形能量测度定义为

连续信号的分形能量测度可定义如下。

定义　对于一维分形信号x（t），如果满足dim［x（t）］∈［1，2），则其能量可以定义为

且有dim｛W［x（t）］｝∈［2，3），其中dH［x（t）］为信号x（t）的Hausdorff测度的微分，所以分形信号的能量可以定义为信号模平方及其关于Hausdorff测度的积分。

对于多重分形信号，dH［x（t）］的计算与信号的奇异性指数有关。对于分形时间元dtf及其测度H［x（dtf）］，由于奇异性指数α的变化，可根据不同的奇异性子集xα（t）进行划分，然后对xα（t）进行分形能量测度分析。同时对于任意的α，可计算分形子集Hausdorff测度的微元dH［xα（t）］，从而可得dH［∪xα（t）］。故信号的分形能量测度应按照奇异性能量分布进行定义。下面给出连续分形信号的奇异性能量谱分布命题。

命题　对于多重分形信号，假定x（t）可表示为稠密子集xα（t）的并，xα（t）又称为分形子带信号，即x（t）=Uαxα（t），那么分形信号x（t）的奇异性能量谱分布可表示为

简记为W（α），此时多重分形信号的分形能量测度可表示为

根据分形信号Hausdorff测度和上述信号分形能量测度的定义，可证明之。

由于xαi（t），xαj（t）之间没有交集，故xαi（t）xαj（t）=0，i≠j，故有

代入式（6.22），有(www.xing528.com)

式中，W（α）即为多重分形的奇异性能量谱分布。上述命题得证。

对于单规分形而言，有α=2-D，其中D为单规分形的维数，有

由上述分析可见，奇异性能量谱分布W（α）表达的是随机多重分形信号在奇异性指数为α的层级所具有的能量测度，它描述了不同奇异性指数对于多重分形信号能量的贡献，以及分形能量在不同标度层次上的分布特征。