DFA-MFSD实验分析：优化方法探讨

1.仿真方法

为评价和验证DFA-MFSD算法的性能，选取三类多重分形时间序列，利用DFA-MFSD算法估计其多重分形谱分布，在此基础上分析DFA-MFSD与MFDFA的关系，并对比分析DFA-MFSD算法和WTMM-MFSD算法的性能。三个时间序列分别为确定性过程多重分形BMC信号模型、随机多重分形过程RWS和具有非平稳和多重分形特性的真实海杂波数据，这些数据中包含有cusp尖峰奇异性和chirp振荡奇异性。其中，BMC模型就有解析的多重分形谱，RWS和海杂波具有统计的多重分形谱。然而，无论是RWS、海杂波还是BMC信号模型，其时变波动函数以及时变多重分形谱均不存在解析形式。

在仿真分析中，对于DFA-MFSD方法，分别采用线性、二次和三次多项式进行拟合和趋势项消除，即DFA1-MFSD、DFA2-MFSD、DFA3-MFSD。对于WTMMMFSD，采用4阶标准正交Daubechie小波，并将基于DFA1～3-MFSD算法的三类信号的时变波动函数，与基于WTMM-MFSD算法的时变配分函数进行比较。计算时，采用的样本序列长度为216，每类序列样本数为210条，以保证测量值和谱估计算法的统计收敛性。

2.DFA m-MFSD仿真结果分析

1）BMC信号

图5.15仿真的BMC信号（p1=0.75，p2=0.25），以及采用MFDFA和WTMM进行多重分形谱估计的结果，分别表示为fd（α）和fw（α）。从图中可见，MFDFA和WTMM的多重分形谱估计结果与理论的谱线保持了较好的一致性。特别当q取负值（对应谱线的右半部分）得到了较好的估计结果。图5.15（c）为MFDFA3在q∈［-20，20］时的波动函数，图5.15（d）为波动函数的轮廓投影曲线，从中可见BMC信号具有多重分形的尺度不变性。

图5.15　BMC信号及其多重分形谱仿真分析

（a）BMC信号，p1=0.75，p2=0.25，N=216；（b）基于MFDFA和WTMM的多重分形谱仿真分析；（c）MFDFA3在q∈［-20，20］时的波动函数；（d）波动函数的投影轮廓

采用DFA m-MFSD算法对BMC信号进行分析，并与WTMM-MFSD的估计结果进行对比；图5.16为t=300，q∈［-20，20］，s∈［10，128］时，基于DFA m-MFSD（m=1～3）时变振荡函数和基于WTMM-MFSD的时变配分函数［见图5.16（d）］。从仿真分析可见，在给定时刻，基于不同阶数DFA-MFSD、WTMMMFSD和传统的多重分形谱的BMC信号的多重分形特性具有一致性和相容性。

图5.17为采用DFA m-MFSD、WTMM-MFSD对BMC信号波动函数估计的统计结果，从中可见，与WTMM-MFSD相比，采用DFA m-MFSD的统计结果中具有时变的奇异性指数分布范围较宽，同时需注意到MMWT-MFSD算法缺乏理论上的完备性，计算成本也较高。

图5.16　基于DFA m-MFSD的BMC时变波动函数和基于WTMM-MFSD的BMC时变配分函数仿真（N=210，t=300，q∈［-20，20］，s∈［10，128］）

（a）DFA1-MFSD；（b）DFA2-MFSD；（c）DFA3-MFSD；（d）基于WTMM-MFSD时变配分函数，s=1～8，q∈［-10，10］，db4小波

图5.17　基于DFA m-MFSD和基于WTMM-MFSD的BMC时变多重分形谱分布仿真分析

（a）DFA1-MFSD；（b）DFA2-MFSD；（c）DFA3-MFSD；（d）WTMM-MFSD

图5.18为基于DFA m-MFSD和WTMM-MFSD方法的BMC信号的谱分布估计的最小奇异性指数、最大奇异性指数和对应于最大谱分布的奇异性指数值。图5.18给出了传统多重分形谱的最大值、最小值、中心值，以三条平行线表示。计算结果表明，BMC信号的瞬时多重分形谱随时间的变化而变化，MFSD将比传统多重分形谱提供更多的瞬时奇异性谱分布的变化特征。同时注意到，各种算法估计的MFSD谱中均存在空白时间间隔，这表明BMC信号在某些时间区间多重分形特征非常弱，有些可用单规分形甚至整数维进行描述，这对于简化信号特征分析具有一定的意义。

图5.18　基于DFA m-MFSD和基于WTMM-MFSD的时变最大、最小及中心奇异性指数分析

（a）线性拟合谱分布DFA1-MFSD；（b）二次拟合谱分布DFA2-MFSD；（c）三次拟合谱分布DFA3-MFSD；（d）WTMM-MFSD

2）RWS

RWS建模和仿真过程可参考第7章。这里分别从RWS仿真信号、RWS的多重分形谱、RWS在给定点的波动函数以及多重分形谱分布进行分形，并与基于WTMMMFSD的时变配分函数和多重分形谱分布估计结果进行对比。图5.19给出了基于db4小波以及对数正态分布（m=2.5，v=1.0）的RWS仿真结果，以及采用MFDFA和WTMM进行多重分形谱估计的结果，从图5.19中可见，MFDFA、WTMM的多重分形谱估计结果与理论的谱线保持了较好的一致性。图5.20为采用DFA m-MFSD和WTMM-MFSD对RWS波动函数进行了仿真，分别给出了在特定时刻的波动函数分析结果。图5.21为基于不同DFA m-MFSD和WTMM-MFSD方法的RWS谱分布估计结果，从图中可见DFA m-MFSD可揭示出RWS动态变化的多重分形特性，且不同的DFA m均产生了较为一致的结果，说明趋势项在m=1时已经得到了较好去除效果，拟合阶数m的增加并不会再带来估计性功能的变化，同时DFA m-MFSD与WTMM-MFSD也产生了较为相似的估计结果。图5.22分别给出了MFSD谱分布的最小奇异性指数、最大奇异性指数和对应于最大谱分布的奇异性指数值，同时还给出了传统多重分形谱的最大值、最小值、中心值，以三条平行线表示进行比较。

通过对RWS的仿真分析可见：①RWS在时间-奇异性指数二维平面展示了很强的多重分形谱分布特征，在给定的参数下，其奇异性指数散布在［0，3］，比传统的多重分形谱具有更宽的指数分布范围；②RWS的动态多重分形谱分布呈现出一定的周期性，这一点可能与RWS模型的构造过程相关；③基于DFA-MFSD算法的奇异性指数散布范围比基于WTMM-MFSD算法的估计结果更宽（α∈［0.5，2.0］），同时，两种算法与传统的多重分形谱算法相比均对奇异性指数范围有一定的展宽效应。

图5.19　RWS信号及其多重分形谱仿真分析

（a）RWS信号，m=2.5，v=1.0，N=216；（b）基于MFDFA和WTMM的多重分形谱仿真分析；（c）MFDFA3在q∈［-20，20］时的波动函数；（d）波动函数的投影轮廓

图5.20　基于DFA m-MFSD的RWS时变波动函数和基于WTMM-MFSD的RWS时变配分函数仿真（N=210，t=300，q∈［-20，20］，s∈［10，128］）

（a）DFA1-MFSD；（b）DFA2-MFSD；（c）DFA3-MFSD；（d）基于WTMM-MFSD时变配分函数，s=1～8，q∈［-10，10］，db4小波

图5.21　基于DFA m-MFSD和基于WTMM-MFSD的RWS时变多重分形谱分布仿真分析

（a）DFA1-MFSD；（b）DFA2-MFSD；（c）DFA3-MFSD；（d）WTMM-MFSD

图5.22　基于DFA m-MFSD和基于WTMM-MFSD的时变最大、最小及中心奇异性指数分析

（a）线性拟合谱分布DFA1-MFSD；（b）二次拟合谱分布DFA2-MFSD；（c）三次拟合谱分布DFA3-MFSD；（d）WTMM-MFSD

3）实测海杂波分析

海杂波序列的相关说明可参考5.2节。图5.23显示了海杂波时域波形，以及采用MFDFA和WTMM进行多重分形谱估计的结果，从图中可见，MFDFA、WTMM的多重分形谱估计结果与理论的谱线保持了较好的一致性。图5.24和图5.25为采用DFA m-MFSD和WTMM-MFSD对RWS波动函数进行仿真的特定时刻的波动函数分析结果，仿真采用的参数与BMC和RWS相同，从中可见m=1，2，3时，DFA m-MFSD估计结果基本一致，其中图5.25为对图5.24进行投影得到的波动函数的轮廓图。图5.26选取了n分别为300、350、685和980的四个时刻，分别给出了瞬时多重分形谱的变化，并在图中表示了奇异性指数散布宽度、最大谱对应的奇异性指数等参数，从中可见，海杂波瞬时多重分形谱具有显著的波动特性，且n为685和980时的海杂波比n为300和350时具有更强的多重分形谱特性。图5.27为基于不同DFA m-MFSD和WTMM-MFSD方法的海杂波谱分布估计结果，从图中可见DFA m-MFSD可揭示出海杂波动态变化的多重分形特性。同样地，DFA m-MFSD与WTMM-MFSD也产生了较为相似的估计结果。

图5.23　实测雷达海杂波序列及基于MFDFA和WTMM的多重分形谱仿真分析

（a）雷达海杂波信号；（b）基于MFDFA和WTMM的多重分形谱仿真分析；（c）MFDFA3在q∈［-20，20］时的波动函数；（d）波动函数的投影轮廓

图5.24　基于DFA m-MFSD的雷达海杂波的时变波动函数和基于WTMM-MFSD的RWS时变配分函数仿真（N=210，t=300，q∈［-20，20］，s∈［10，128］）(www.xing528.com)

（a）DFA1-MFSD；（b）DFA2-MFSD；（c）DFA3-MFSD；（d）基于WTMM-MFSD时变配分函数，s=1～8，q∈［-10，10］，db4小波

图5.25　对应图5.24中波动函数的投影轮廓函数仿真图

（a）DFA1-MFSD；（b）DFA2-MFSD；（c）DFA3-MFSD；（d）WTMM-MFSD

图5.26　基于DFA m-MFSD和WTMM-MFSD的海杂波时变多重分形谱分布仿真分析

（a）f（300，α）；（b）f（350，α）；（c）f（685，α）；（d）f（980，α）

图5.27　基于DFA m-MFSD和WTMM-MFSD的海杂波时变多重分形谱分布仿真分析

（a）DFA1-MFSD；（b）DFA2-MFSD；（c）DFA3-MFSD；（d）WTMM-MFSD

图5.28分别给出了MFSD谱分布（DFA1、DFA2、DFA3-MFSD和WTMMMFSD）的最小奇异性指数、最大奇异性指数和对应于最大谱分布的奇异性指数值，同时还给出了传统多重分形谱的最大值、最小值和中心值，以三条平行线表示进行比较。从图中可见，DFA1、DFA2、DFA3-MFSD估计结果基本一致，且比WTMMMFSD估计结果的奇异性指数值偏大、散布范围略宽。

图5.28　基于DFA m-MFSD和WTMM-MFSD的时变最大、最小及中心奇异性指数分析

（a）线性拟合谱分布DFA1-MFSD；（b）二次拟合谱分布DFA2-MFSD；（c）三次拟合谱分布DFA3-MFSD；（d）WTMM-MFSD

通过对海杂波的仿真分析可见：①海杂波具有丰富的瞬时奇异性谱分布特性，该特性可通过时间-奇异性多重分形谱分布进行描述；②DFA-MFSD算法能有效估计海杂波的多重分形谱，通过MFSD可跟踪海杂波的时变多重分形谱；③DFAMFSD算法与WTMM-MFSD算法对海杂波的估计结果一致，但DFA-MFSD在计算复杂度、计算量和解释性上较后者有一定的优势。

3.仿真结果讨论

从上述三类信号仿真分析可见：①DFA-MFSD为一种基于DFA分析的多重分形谱分布的算法；②DFA-MFSD算法能有效揭示信号的时变多重分形谱分布，跟踪信号多重分形谱的动态演化，包括负矩条件，以及信号同时具有cusp奇异性和chirp奇异性的情形；③从应用的角度看，DFA-MFSD与WTMM-MFSD具有一致的谱估计结果，但前者计算量小，效率更高。

DFA-MFSD的计算量主要体现在局部趋势项消除部分，其余部分包括轮廓计算部分O（N）次求和、索引运算不大于O（N2）次的以及双对数线性拟合和Legendre变换需O（N）次乘法［15］。MFDFAm在计算局部和全局方差和波动函数时需要（m+1）2·s·2Ns+（s+1）·2Ns+2Ns+2s≈2（m+2）2 N次乘法，此外对于循环自相关函数计算部分，DFA-MFSD和WTMM-MFSD需要同等的计算量。因此MFDFA m算法的计算量远低于WTMM-MFSD算法，这意味着DFA-MFSD算法更适合于要求实时性和在线计算的应用领域，且更适应于任意长度时间序列的MFSD估计。