基于WL算法的MFSD优化算法

Lashermes和Jaffard首次提出了基于WL的多重分形谱估计方法。对于给定的小波尺度j，在所有更精细尺度2j′＜2j上，搜索3λj，k时间邻域内最大的小波系数|dX（·，·）|来替代逐尺度逐点小波系数，提出了基于WL的多重分形谱（WLMF）构造方法［7］，从数学推导和数值估计的观点，证明了WLFM方法为一大类包含振荡奇异性（chirp type）的时间序列提供了高精度的MFSD谱分布估计算法。同时，WLFM还提供了对任意维度信号进行谱估计的能力。

1.基于WL的多重分形谱（WL-MFS）

f的尺度函数可定义为［8］

在Legendre变换的基础上，基于WL的多重分形框架可定义为［7］

式中，ζf（p）为依赖于小波基函数的Schwartz类或紧支撑类的尺度函数。在一致Holder规则性条件假定下，可证明WLMF提供了一个关于Hausdorff谱测度的严格上界。

2.基于WL的时间奇异性多重分形谱分布（WL-MFSD）

首先，对于瞬时自相关函数v（t，τ）=x（t+τ／2）x（t-τ／2）的离散小波变换可表示为

将ct（j，k）简写为cλ（t），可得

式中，二元区间λj，k=［k2j，（k+1）2j），3个二元区间的连接形成了3λj，k=λj，k-1∪λj，k∪λj，k+1，如图5.8所示。

在一致Holder规则性条件下，小波leaders系数具有尺度层次化结构，即随着变换尺度单调递增，leaders系数精确地测量了样本的局部Holder奇异性指数。这也是WLMF作为多重分形信号多尺度量化分析的重要特征：如果X是一致Holder的，且在τ0处h（τ0）≥0，那么当Nψ＞h及2jk=τ0时，有

因此，小波leaders系数可基于2j→0和ht（k）的局部幂律特征精确再生和拓展信号的局部Holder指数。这种广泛存在的局部幂律特征在任何过程中都保证了WL-MFSD估计过程的有效性。

图5.8　WL-MFSD的定义示意图

小波leaders消除了接近于0的小波系数导致的配分函数计算的不稳定和局部最值的异常波动问题。在大的尺度下，dλ（t）包含了粗糙尺度和低频信息。基于此，WL结构配分函数可表示为

通过求St（a，q）随尺度a的渐进衰减率，即可获得相应的尺度函数τ（t，q）。当尺度a→0时，有St（j，q）～aτ（t，q），由此可得时变的尺度函数为

同理，可通过Legendre变换得到基于小波leaders的奇异性多重分形谱分布函数(www.xing528.com)

式中α（t，q）=dτ（t，q）／dq，τ（t，q）为Schwartz类或紧支撑类的尺度函数。

3.WTMM-MFSD与WL-MFSD对比

从数学的角度来看，两者主要的不同之处在于：基于WL的TS-MFSD具有较完备的理论支撑，相比之下WTMM-MFSD缺乏严格的数学支撑。具体而言，在小波模极大值法中，局部极大值之间的间距并不要求与尺度a同阶，也不要求具有规则间隔。因此，对于小波模极大值方法，其尺度函数的合理性、尺度函数与分析小波的独立性，以及采用尺度函数的Legendre变换描述多重分形谱的上确界等问题，还没有在数学上得到严格证明。

在计算成本方面，因为WTMMMFSD需通过全尺度小波变换以及大量的局部极值搜索，所以需要巨大的计算开销和成本。小波leaders方法采用正交小波分解，具有快速分解算法的优点，同时通过3个毗邻的二元区间的最值计算来重构WL框架，大大减少了极值搜索的计算量，这意味着小波leaders方法可用于任意长度的时间序列，而WTMM通常限于较短的时间序列。