WTMM-MFSD实验分析的优化探讨

为检验时变多重分形谱的特征提取能力和有效性，这里采用具有不同权重因子的Cantor集进行分析，其中权重因子qi（i=1，2，3，∑qi=1）分别为Cantor集三段分割迭代权重，该信号模型又称为魔鬼阶梯（devil's staircases，DS）信号，图5.2分别仿真了单调型的DS信号［见图5.2（a）和（b）］和非单调DS信号［见图5.2（c）］。

图5.2　魔鬼阶梯信号

（a）p1=0.5，p2=0，p3=0.5；（b）p1=0.2，p2=0.3，p3=0.5；（c）p1=0.6，p2=-0.2，p3=0.6

对图5.2（a）中DS信号进行瞬时自相关分析和小波变换，分析给定时刻小波变换在双对数线性尺度坐标条件下的小波模值。如图5.3所示，分析图中典型区域的小波系数和奇异性来源，其中区域①表明，在粗尺度上的振幅Wc比精细尺度的小波模值更大，且在精细尺度上振幅下降速度更快。区域②对应的小波系数非常小，与图5.4比较可见，这些系数并非实际极大值线的延伸，可以推断这些系数是由于数值噪声所致，而非真实的信号奇异点。相反地，区域③的小波系数则是对应于实际信号奇异点，对照图5.4，可见这些系数在小波模极大值的延伸线上，且衰减较慢，具有很强的结构性。在图5.3中，区域④表明在t=0.5附近，小波系数非常小，这些系数与极大值线无关，初步判断这些系数为计算误差所致，而非实际信号奇异点。

图5.3　给定延迟时间处魔鬼阶梯信号（p1=0.5，p2=0，p3=0.5）WTMM示意图，四个区域代表了信号不同的奇异特征及其来源

图5.4　魔鬼阶梯信号的小波模极大值线及时变多重分形谱分布

（a）给定时刻的小波模极大值线（对应图5.3）；（b）时变Legendre多重分形谱分布

图5.4显示了时间-尺度平面内的小波模值构造的最大值线，通过跟踪具有局部最大值的奇异性点构造出极大值线，如图5.4（a）所示。通过从粗糙尺度到精细尺度的逐尺度跟踪，可以绘制出连续的最大值线。值得注意的是，在配分函数的计算时只选用了具有完整结果的极大值线，而忽略了未延续到精细尺度的极大值线。图5.4（b）为相应的时变Legendre多重分形谱分布，从中可见信号的奇异谱随时间变化而波动。通过对魔鬼阶梯信号仿真分析，可以看出时间奇异多重分形谱（TS-MFSD）具有描述了系统时变奇异谱分布的能力，这一点对于表征系统空间动力学特性具有参考价值。

图5.5给出了基于时变Legendre多重分形谱分布的魔鬼阶梯信号的仿真分析结果，图5.6给出了基于时变大偏差谱多重分形谱分布的魔鬼阶梯信号的仿真分析结果。在给定时刻，fg（t，a）和fl（t，a）均表现为与传统多重分形谱相似的凸函数，且具有最大值1。DS信号的TS-MFSD分布随时间演化，不同时刻的多重分形谱存在显著的波动，体现了MFSD对于局部奇异性特征的跟踪能力，也表明MFSD比传统MFS能提供更丰富的信号特征。

图5.5　魔鬼阶梯信号的时变Legendre多重分形谱分布仿真示意图

（a）p1=0.2，p2=0.3，p3=0.5；（b）p1=0.6，p2=-0.2，p3=0.6

图5.6　魔鬼阶梯信号的时变大偏差多重分形谱分布仿真示意图

（a）p1=0.2，p2=0.3，p3=0.5；（b）p1=0.6，p2=-0.2，p3=0.6(www.xing528.com)

此外，从上述仿真分析可见，在t∈［0.45，0.55］的局部时间条带，MFSD表现为最大值谱线，而非凸函数谱，这表明信号在这一局部时间区域具有微弱的多重分形特征。其次，从仿真结果可见，MFSD具有很强的边缘效应，这表明在边缘时刻计算的MFSD存在一定的偏差。仿真表明了时变多重分形谱分布MFSD揭示了信号多重分形特征的动态演化过程，并且在时间-奇异性二维平面展示了信号动力系统的空间动态特征。仿真实验还显示了fg和fl与fh的估计结果一致，且近似满足不等式关系fh（t，a）≤fg（t，a）≤fl（t，a）。

最后，针对实测的雷达引信海杂波进行分析。海洋表面具有典型的多尺度分形结构，已经证明雷达电磁回波保留了海洋表面的空间多重分形特性，因此海洋表面的雷达回波同样具有动态的多重分形谱。这里，实测的海杂波来源于南京理工大学抗干扰试验站，雷达平台高度距海面10～25 m，雷达工作频率为150 MHz，采用频率和幅度双调制模型对信号进行解调，截取解调后长度为210的海杂波序列进行分析。

图5.7　基于TS-MFSD的实测海杂波分析

（a）时域海杂波序列；（b）海杂波的多重分形谱；（c）海杂波的WTMM-MFSD谱分析；（d）WTMM-MFSD谱分布的轮廓线

图5.7给出了基于MFSD谱分布的海杂波分析结果，其中图5.7（a）为时域的海杂波序列；图5.7（b）为海杂波的多重分形谱，从中可见奇异性指数散布范围约为［1.0，1.45］；图5.7（c）为海杂波的WTMM-MFSD谱分析，从中可见海杂波几乎处处具有多重分形特征，且其多重分形特征随时间变化，观察可见，MFSD中存在一些空白条带，这些空白条带对应的时间区间具有弱分形或非分形特征；图5.7（d）为WTMM-MFSD谱分布的轮廓线，其中在奇异域上的分布越宽，表明该时刻的奇异性特征越明显。

需要指出的是，MFSD在给定时间的奇异谱的物理概念上尚存在一定的困难，这一点与广义时频分布中给定点的傅里叶谱的概念解释类似。此外，还应注意WTMMMFSD的边缘效应引起的计算误差，以及因迭代计算、极值搜索和拟合计算等造成的计算量大的问题，这制约了WTMM-MFSD的工程应用。针对上述问题，下面将分析介绍基于WL、DFA和DMA的MFSD算法。