时变Hausdorff奇异谱的研究

1.时变奇异性子集

在三种时变多重分形谱中，时变Hausdorff奇异谱具有最明确的几何意义和严格的数学基础。给定信号x（t）在时刻t的局部特性可由信号的瞬时自相关时变奇异指数s（t，τ）表征。s（t，τ）体现了x（t）在时刻t信号的奇异性分布，将t时刻具有相同奇异指数的点构成的集合记为E［α］（t），则有

集合E［α］（t）通过其奇异性指数分布构成了对x（t）支撑的一个分解，若在时刻t，每个E［a］（t）都是紧支集，且互相之间高度交叉，则称x（t）具有丰富的非平稳多重分形结构。多重分形谱的研究表明这些集合的Lebesgue测度为零，假定信号的奇异性取值范围为（αmin，αmax），集函数描述了集合E［α］（t）的相对大小，因此可作为奇异值的谱分布。

2.时变Hausdorff奇异谱

通过研究奇异性子集E［α］（t）的Hausdorff测度和Hausdorff维数，可实现对x（t）的复杂时变奇异性结构的描述和不变量的定量表征。

定义5.5　（时变Hausdorff奇异谱定义）时变Hausdorff奇异谱定义为集合E［α］（t）的维数：（t，a）↦dim［E［α］（t）］，这里dim（E）描述了集合E的Hausdorff维数。

集合E［α］（t）（a∈R）形成了x（t）支撑的时变多重分形分解，即具有不同α的各个分形集的并构成了x（t）在t时刻的支撑。下面从统计分析的角度给出时变多重分形谱的数学表达式，根据多重分形的数学定义给出时变多重分形谱的数学定义，从对集合有限覆盖、集合的可测性条件以及有限维测度分析出发，得到具有相同奇异性指数的瞬时自相关信号点构成的分形子集所对应的维数。

3.时变多重分形的数学定义(www.xing528.com)

若单元测度μt（α）与单元尺度之间满足幂律关系：μt（α）～εα，其中α为Holder指数。因为α控制着测度μt（α）的奇异性，α也叫奇异性指数。对于上述xt（α）的任意δ-覆盖｛Ui｝i∈N，当0＜diam Ui＜δ时，引入以下记号：

由此可定义xt（α）的时变r维Hausdorff测度为

若存在临界指数f（t，α），使得

则称fh（t，α）为分形信号在Hausdorff测度下的时变奇异性谱，即由不同时刻t和α组成的序列构成的谱。由上述定义可知，fh（t，α）就是分形支集xt（α）的Hausdorff维数。

考虑到集合覆盖的任意性，不失一般性，当上述覆盖｛Ui｝i∈N是尺度为ε的盒子时，若［α，α+dα］内测度为μt（α）的盒子数为Nt（α），则有下式成立