瞬时自相关信号时间奇异性指数的探究

参考经典Wigner-Ville分布的处理技巧，将信号x（t）自身的延迟共轭版本作为特征窗函数，得到具有对称性的信号瞬时自相关函数

式中，E表示随机信号的数学期望。以此为基础，以下分别采用Holder指数和小波奇异性指数计算方法对瞬时自相关信号的奇异性指数进行分形。

1.时变Holder指数

定义5.2　假定lg（0）=-∞，那么瞬时自相关信号的Holder指数为

2.离散化时变Holder指数

定义5.3　瞬时自相关信号rxx（t，τ）的离散化时变Holder指数为

3.时变小波奇异性指数

上述离散Holder指数计算方法并不实用。为此，Arneodo、Bacry和Muzy等人将小波技术引入到分形信号的处理之中，研究了自相似随机分形信号在小波域的精细尺度结构。小波变换的多尺度分析特点使得其在多重分形以及奇异性分析方面具有独特的优势。小波函数具有很好的微分特性，信号|rxx（t，τ）-rxx（t，u）|的差分可由离散小波变换系数代替，这使得小波变换对信号奇异性具有较好的跟踪和表征能力。根据小波奇异性指数的定义，可得时变小波奇异性指数定义为：

定义5.4　（时变小波奇异性指数）对于一维信号X（t），如果当s→t时，满足|X（s）-X（t）|=O（|s-t|）h，其中O（·）为高阶无穷小，则信号X（t）的瞬时奇异性指数为(www.xing528.com)

式中，Wn，kn（t）为至少具有n＞h（x）阶消失矩的小波母函数，其时变奇异性指数定义为

在特定的应用中，根据实际需要，还有基于概率测度的奇异性指数以及基于其他测度方法的奇异性指数，其共同点是通过包含某种特征的测度与尺度因子的奇异性幂律关系，以及极限运算或者近似的线性拟合方法估计奇异性指数。

通过上述研究，可见时变奇异性指数s（t，τ）给出了每一时刻信号的二次型瞬时相关信号的奇异性指数值，但对于非平稳的随机分形信号，s（t，τ）不能充分表征信号在该时刻的奇异谱分布。信号的时变多重分形谱针对不同时刻，从局部和全局研究信号的正则性，给出这种正则性的几何和概率统计分布的全局描述。具体地，基于瞬时自相关信号的奇异指数，构造瞬时奇异子集并统计该子集的统计分布特性，由此构造出时变多重分形谱分布，包括Hausdorff奇异谱、Legendre多重分形谱和大偏差谱。