多重分形相关谱的仿真分析

本节用MFXPF、MFXDFA-1和MFXDMA算法处理3种类型BMC（p／1-p）信号序列，将计算得到的多重分形互相关分析结果与理论值进行比较。每个序列长度为N=216=65 536，s=［24，25，26，27，28，29，210，211］，|q|max=4，Δq=0.25，一共取得33个不同q值。理论公式为

为简洁表示，本节所有的多重分形互相关参数用τ（q）、H（q）、α（q）和f［α（q）］表示，不带下标“xy”。如图4.1所示为质量概率分布为px=0.3，py=0.4的两个BMC信号序列之间的多重分形互相关参数。ΔH0、ΔH1、ΔH2、ΔH3、ΔH4和ΔH分别代表MFXDFA-1、MFXDMA-0、MFXDMA-0.5、MFXDMA-1、MFXPF方法和理论值对应的q阶Hurst指数变化差值，Δα0、Δα1、Δα2、Δα3、Δα4和Δα为对应的多重分形互相关谱的宽度值。如图4.2所示为质量概率分布为px=0.3，py=0.6的两个BMC信号序列之间的多重分形互相关参数。如图4.3所示为质量概率分布为px=0.7，py=0.6的两个BMC信号序列之间的多重分形互相关参数。从图4.1和图4.3中可以发现理论值公式在质量概率分布性质接近的两个时间序列之间计算多重分形互相关特性时比较吻合。从图4.2中可以发现如果两个序列的质量概率分布特性差异很大，此时计算的多重分形互相关特性参数与理论公式偏差很大。

图4.1　MFXDFA-1、MFXDMA和MFXPF方法的参数计算结果［BMC（p／1-p），px=0.3，py=0.4，N=216=65 536］

（a）q阶Hurst指数H（q）-q的关系图；（b）q阶质量指数τ（q）-q的关系图；（c）q阶质量指数与理论值之间差值Δτ（q）-q的关系图；（d）q阶奇异性维数f（α）与奇异性指数α之间的f（α）-α的关系图

图4.2　MFXDFA-1、MFXDMA和MFXPF方法的参数计算结果［BMC（p／1-p），px=0.3，py=0.6，N=216=65 536］

（a）q阶Hurst指数H（q）-q的关系图；（b）q阶质量指数τ（q）-q的关系图；（c）q阶质量指数与理论值之间差值Δτ（q）-q的关系图；（d）q阶奇异性维数f（α）与奇异性指数α之间的f（α）-α的关系图

图4.3　MFXDFA-1、MFXDMA和MFXPF方法的参数计算结果［BMC（p／1-p），px=0.7，py=0.6，N=216=65 536］

（a）q阶Hurst指数H（q）-q的关系图；（b）q阶质量指数τ（q）-q的关系图；（c）q阶质量指数与理论值之间差值Δτ（q）-q的关系图；（d）q阶奇异性维数f（α）与奇异性指数α之间的f（α）-α的关系图

图4.1和图4.3中的理论值谱线一样，但是两个图中所用的两个序列是反序的，因为质量概率分布为0.3／0.7和质量概率分布为0.7／0.3的两个序列，各自所具有的概率子集是一样的，只是分布位置不同，两者的理论值曲线是一样的，故按照理论值公式，图4.1和图4.3中计算出来的多重分形互相关奇异性谱也是一样的。

表4.1给出了MFXPF、MFXDFA-1、MFXDMA（θ=0，0.5，1）算法计算不同质量概率分布的BMC信号序列的多重分形互相关质量指数τ（q）与理论值之间误差的均方根值。表4.2给出了MFXPF、MFXDFA-1、MFXDMA（θ=0，0.5，1）算法计算不同质量概率分布的BMC信号序列的多重分形互相关q阶Hurst指数H（q）与理论值之间误差的均方根值。表4.3给出了MFXPF、MFXDFA-1、MFXDMA（θ=0，0.5，1）算法计算不同质量概率分布的BMC信号序列的多重分形互相关参数的计算时间。

从表4.1和表4.2中可以看出，MFXPF是基于概率子集的统计方法，对px=0.3，py=0.4和px=0.7，py=0.6两种情况的序列，后一种情况下的两个序列是前者序列的反序信号序列。因此并不影响概率子集的统计。其他的算法略有不同，但是如果两个序列的概率参数0＜px＜0.5，0＜py＜0.5或者0.5＜px＜1，0.5＜py＜1时，那么计算的两个序列的多重分形互相关分析的各个参数与理论值曲线之间误差的均方根值比较小，图4.1和图4.3中的曲线表明这两种情况下，两个序列的多重分形互相关参数与理论值曲线之间比较接近。而当两个序列的概率参数为0＜px＜0.5，0.5＜py＜1或者0.5＜px＜1，0＜py＜0.5时，那么计算的两个序列的多重分形互相关分析的各个参数与理论值曲线之间误差的均方根值较大。图4.3中的曲线表明这种情况下，两个序列的多重分形互相关参数与理论值曲线之间误差较大。从表4.3中可以看出，同一种算法对相同长度，不同概率参数的两个时间序列，采用相同的无标度区间和q取值时，计算时间变化不大，但是在不同算法之间，处理相同长度、相同概率参数的两个时间序列时，若采用相同的无标度区间和q取值，MFXDMA算法计算时间相对较长，MFXDFA算法计算时间次之，MFXPF算法的计算时间最短。(www.xing528.com)

表4.1　不同质量概率分布BMC信号序列的多重分形互相关质量指数计算值的均方根误差值

表4.2　不同质量概率分布的BMC信号序列的多重分形互相关Hurst指数计算值的均方根误差值

表4.3　不同质量概率分布的BMC信号序列的多重分形互相关参数的计算时间／s