多重分形相关谱算法简介

近十年来，降趋互相关分析（detrended cross-correlation analysis，DCCA）［11］已经成为研究两个非平稳信号序列之间长程幂律互相关特性最常用的方法。这种方法还有很多变种［12-13］，例如多重分形傅里叶降趋互相关分析法和多尺度多重分形降趋互相关分析方法等。

降趋偏互相关分析（detrended partial cross-correlation analysis，DPXA）是在考虑到偏相关分析前提下，在处理两个同时记录下的时间序列中存在非平稳性时，去掉共同外力对时间序列的影响后，揭示出序列之间固有的幂律互相关特性的分析方法。DPXA方法被扩展为多重分形DPXA（multifractal DPXA，MFDPXA），用来研究多重分形时间序列的互相关特性［14］。目前主要的多重分形互相关分析法为多重分形降趋互相关分析方法，例如，MFXDFA、MFXDMA和多重分形高度互相关分析法（multifractal height cross-correlation analysis，MFHXA）［15］。注意用MFHXA方法时，仅当q＞0时，分析两个去除了趋势项的信号序列的尺度特性才有意义。文献［16］研究了两个单分形信号序列的q阶互相关Hurst指数值Hxy（q）与理论值Hxyth（q）=［Hx（q）+Hy（q）］／2的关系。文献［4］已经证明了两个单分形信号FBM之间的互相关性质，且跟两个序列之间互相关系数无关，用MFXDFA和MFXDMA算法计算两个单分形FBM信号序列的q阶互相关Hurst指数值Hxy（q）很接近理论值Hxyth（q）=［Hx（q）+Hy（q）］／2。文献［4］还给出两个具有类似生成元的二项乘法级联（binomial multiplicative cascades，BMC）信号序列之间的互相关分析的例子，可以观测到其多重分形互相关分析的参数值也符合理论公式的形式。

一维多重分形分析方法已被拓展为二维甚至高维多重分形分析方法，包括基于配分函数法的二维多重分形互相关分析法（2D-MFXPF）、基于降趋波动分析法的二维多重分形互相关分析法（2D-MFXDFA）和基于降趋移动平均的二维多重分形互相关分析法（2D-MFXDMA），本章给出了上述算法实现步骤，并介绍两个多重分形信号序列的q阶互相关Hurst指数值Hxy（q）与理论值Hxyth（q）=［Hx（q）+Hy（q）］／2的关系。BMC信号是典型一维多重分形信号序列，本章将研究它们各自不同质量概率分布的信号序列之间的互相关特性，分析其多重分形互相关性，生成结构相似的两个BMC信号序列，互相关的质量函数、奇异性强度和多重分形谱的表达都有理论值公式，而且数值计算结果与理论值比较吻合，相关结论可为实际信号检测中多重分形互相关分析方法和检测量的选择优化提供有价值的参考。(www.xing528.com)