计算统计精度比较分析

多重分形性谱的计算比较复杂，只有少数比较特殊的集合才有解析解，为了比对两种算法的计算统计精度，本章选择典型的多重分形信号——BMC信号为分析对象，其相关参数计算的理论公式可参考文献［10］。BMC信号模型可参考第7章。本节选用的BMC信号的参数为p1=0.4，p2=0.6。

采用MFDFA方法处理信号序列时，要考虑多项式的拟合阶数m的取值，q取值范围为-5～5，均匀取101个点，无标度区为10～1 480，在其以10为底的对数值范围内均匀取30个尺度值。图3.4给出了m取值为1、2、3时的相关参数计算结果，图3.4（a）和（b）分别是q阶Hurst指数H（q）和质量指数τ（q）与q的关系图，图3.4（c）为q阶质量指数与理论值的差值Δτ（q）与q的关系图，图3.4（d）为四种算法计算出的多重分形谱和理论值谱线，其中ΔH=Hmax-Hmin为q阶Hurst指数的变化差值，Δα=αmax-αmin为q阶奇异性强度的变化差值，称为奇异性谱宽度。ΔH1、ΔH2、ΔH3和ΔH分别代表MFDFA-1、MFDFA-2、MFDFA-3方法和理论值对应的q阶Hurst指数变化差值。

图3.4　MFDFA方法处理BMC信号（N=16 384，p1=0.4，p2=0.6）的计算结果

（a）q阶Hurst指数H（q）-q的关系图；（b）q阶质量指数τ（q）-q的关系图；（c）q阶质量指数与理论值之间差值Δτ（q）-q的关系图；（d）q阶奇异性维数f（α）与奇异性指数α之间的f（α）-α的关系图

由图3.4（a）可以看出，m=1，2，3时，计算所得的q阶Hurst指数在q＜0时，MFDFA-1计算出来的结果更加接近理论值；在q＞0时，MFDFA-3的计算结果更加接近理论值。图3.4（b）中q阶质量指数跟q之间不是直线关系，故该信号是多重分形信号。图3.4（c）中，在q＜0时，MFDFA-1计算出来的q阶质量指数与理论值误差最小；在q＞0时，MFDFA-3计算出来的q阶质量指数与理论值误差最小。图3.4（d）中，谱线整体往左偏离理论值曲线，当q＜0时，MFDFA算法计算的谱线逼近理论值谱线效果好一些，MFDFA-1计算的谱线更加接近理论值；当q＞0时，谱线往左偏离理论值谱线多一点，造成奇异性谱宽度比理论值略大一些，MFDFA-3计算的谱线更加接近理论值。

表3.1给出了MFDFA方法计算得到的τ（q）和H（q）与理论值的误差均方根值。从表3.1中可以看出，随着多项式拟合阶数的改变，计算出的结果跟理论值之间误差均方根值变化不大，考虑到m值太大会引起过拟合现象，m=1时的计算误差可以接受，本节采用MFDFA-1方法。

表3.1　MFDFA方法计算的τ（q）和H（q）与理论值的误差均方根值

为对比MFDFA和MFDMA算法计算统计精度，图3.5给出了MFDFA-1方法和MFDMA的三种算法处理BMC信号的相关参数计算结果和理论值关系图，q和尺度范围参数设置同图3.4。ΔH0、ΔH1、ΔH2、ΔH3和ΔH分别代表MFDFA-1、MFDMA-0、MFDMA-0.5、MFDMA-1方法和理论值对应的q阶Hurst指数的变化差值。

图3.5　MFDFA-1，MFDMA方法处理BMC信号（N=16 384，p1=0.4，p2=0.6）的计算结果(www.xing528.com)

（a）q阶Hurst指数H（q）-q的关系图；（b）q阶质量指数τ（q）-q的关系图；（c）q阶质量指数与理论值之间差值Δτ（q）-q的关系图；（d）q阶奇异性维数f（α）与奇异性指数α之间的f（α）-α的关系图

图3.5中四种算法计算出来的曲线都能较好地体现出多重分形信号特征，q从负值到正值变化时，H（q）值变化明显，τ（q）与q不是直线关系，奇异性谱线逼近理论值谱线，奇异性谱宽度逼近理论值宽度。由图3.5可直观地看到MFDMA-0和MFDMA-1方法计算的奇异性谱逼近理论值谱线，效果比MFDFA-1和MFDMA-0.5好，MFDMA-0.5方法计算的奇异性谱最大值点位置明显偏离理论值谱线的最大值点位置。

表3.2给出了MFDFA-1和MFDMA方法计算的τ（q）和H（q）与理论值的误差均方根值，MFDMA-1方法计算的τ（q）和H（q）误差均方根值是最小的，分别为0.011 6和0.004 2，该方法计算的奇异性谱最接近理论值谱线，误差最小，而MFDMA-0.5方法计算的τ（q）和H（q）误差均方根值是最大的，分别为0.320 7和0.107 6，误差最大。从图3.5和表3.2可知MFDMA-1效果最好，MFDMA-0次之，MFDFA-1再次之，MFDMA-0.5效果最差。

表3.2　MFDFA-1，MFDMA方法计算τ（q）和H（q）与理论值的误差均方根值