多重分形降趋移动平均法优化改进

对于一维信号，多重分形降趋移动平均法（MFDMA）主要实现步骤如下［10］。

步骤1　给定时间序列x（t），t=1，2，…，N（N为数据的总数），构造一个新的序列

步骤3　计算局部均方根值。第v个区间段中的均方根函数Fv（n）为

步骤4　计算全局q阶均方根值，当q≠0时，有

步骤5　改变尺度n，得到对应的Fq（n），如果信号序列是具有幂律关系的尺度不变信号，则

这里的H（q）是q阶Hurst指数。H（q）与多重分形质量指数τ（q）相关，可表示为

式中，Df为多重分形信号的拓扑维数，对于一维时间序列信号，Df=1。通过Legendre变换，可以得到奇异性强度函数α（q）和多重分形谱f（α）。q值从负值到正值的变化过程中，H（q）如果几乎保持不变，那么q阶质量指数τ（q）与q的关系为直线关系，信号具有单分形特性，多重分形谱宽度较小，趋近于0；反之，如果H（q）变化较大，q阶质量指数τ（q）与q的关系不为直线关系，则信号具有多重分形特性，多重分形谱宽度较大。

本章考虑MFDMA方法中θ=0，0.5，1这三种特殊情况。MFDMA算法中，θ=0代表后向移动平均法，记为MFDMA-0；θ=0.5代表中心移动平均法，记为MFDMA-0.5；θ=1代表前向移动平均法，记为MFDMA-1。

对于二维信号，可使用二维MFDMA算法进行MFS估计，实现步骤如下。

步骤5　q阶全局波动函数Fq（n）为

步骤6　改变区间块的尺寸n1和n2，可以获得q阶全局波动函数Fq（n）和尺度n的幂律关系式

本章中采用的数据为大小规模为N×N的二维矩阵，采用n=n1=n2，θ=θ1=θ2的设置验证二维MFDMA算法的有效性。其他几个物理量计算公式如式（3.83）、式（3.84）和式（3.85），式（3.83）中，Df=2。本章考虑二维MFDMA方法中θ=0，0.5，1这三种特殊情况。(https://www.xing528.com)