多重分形降趋波动分析法的优化

对于一维信号，多重分形降趋波动分析法（MFDFA）算法实现步骤如下［8］。

步骤1　给定时间序列x（t），t=1，2，…，N（N为数据的总长度），构造一个新的序列为

步骤3　计算局部均方根值，可得

步骤4　计算全局q阶均方根值，当q≠0时，有

当q=0时，有

步骤5　改变尺度s数值，得到对应的Fq（s），如果信号序列是具有幂律关系的尺度不变信号，则

式中，H（q）为q阶Hurst指数。通过计算无标度区中尺度s和函数Fq（s）的对数值之间一阶多项式拟合系数，求取其线性回归直线的斜率，记为H（q）。如果两者之间是S形或者弯曲的曲线关系，是不能用来估算H（q）值的。H（q）与多重分形质量指数τ（q）相关，可表示为

式中，Df为多重分形信号的拓扑维数，对于一维时间序列信号，Df=1。通过Legendre变换，可以得到奇异性强度函数α（q）和多重分形谱f（α）（也称为奇异性谱）。q值从负值到正值的变化过程中，H（q）如果几乎保持不变，那么q阶质量指数τ（q）与q的关系为直线关系，信号具有单分形特性，多重分形谱宽度较小，趋近于0；反之，如果H（q）变化较大，q阶质量指数τ（q）与q的关系不为直线关系，则信号具有多重分形特性，多重分形谱宽度较大。

对于二维信号，可使用二维MFDFA算法进行MFS估计，实现步骤如下［9］。

步骤1　考虑一个自相似（或者自仿射）的曲面，可以用一个二维的阵列X（i，j）表示，这里i=1，2，…，N1，j=1，2，…，N2。该曲面可以被划分为N1s×N2s个互不相交的有着相同大小为s×s的方块区间，N1s=［N1／s］，N2s=［N2／s］。每个方块用Xv，w表示，因此Xv，w（i，j）=X（l1+i，l2+j）1≤i，j≤s，其中，l1=（v-1）s，v=1，2，…，N1s，l2=（w-1）s，w=1，2，…，N2s。

步骤2　对每一个用v和w标记的方块Xv，w，累加和uv，w（i，j）为

式中，i，j=1，2，…，s。注意uv，w本身就是一个曲面。(www.xing528.com)

步骤3　构造出来的曲面uv，w的趋势可以用预先选好的二变量多项式函数u～来拟合。最简单的函数是一个平面。在研究过程中，可采用以下五种降趋函数来验证算法的有效性

式中，1≤i，j≤s。参数a，b，c，d，e和f是待定的自由参数。这些参数可以利用最小二乘法，通过简单的矩阵运算就可以得到具体数值。接着计算残差矩阵

方块Xv，w的降趋函数Fv，w（s）由残差矩阵εv，w（i，j）的样本方差定义

步骤4　对所有的方块计算全局的降趋波动函数

式中，q可以取q=0以外的任意实数值。当q=0时，根据L'Hospital's法则，有

对每一个q值，可以获得相应的传统的质量指数函数τ（q）表达式

式中，Df为拓扑维数，对于二维信号序列，Df=2。由此可获得扩展的分形维数Dq，通过Legendre变换计算出奇异性指数函数α（q）和多重分形谱（或者称为奇异性谱）f（α）。